高等代数理论基础74：辛子空间

辛子空间

定义： $(V,f)$ 为辛空间,W为V的子空间,若 $W\subset W^{\perp}$ ,则称W为 $(V,f)$ 的迷向子空间,若 $W=W^{\perp}$ ,即W是极大的(按包含关系)迷向子空间,也称为拉格朗日子空间,若 $W\cap W^{\perp}=\{0\}$ ,则称W为 $(V,f)$ 的辛子空间

例：设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-k}$ 是 $(V,f)$ 的辛正交基,则 $L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k)$ 是迷向子空间, $L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)$ 是极大迷向子空间,即拉格朗日子空间, $L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-k})$ 是辛子空间

性质：

对辛空间 $(V,f)$ 的子空间 $U,W$

1. $(W^{\perp})^{\perp}=W$

2. $U\subset W\Rightarrow W^{\perp}\subset U^{\perp}$

3.若U是辛子空间,则 $V=U\oplus U^{\perp}$

4.若U是迷向子空间,则 $dim(U)\le {1\over 2}dim(V)$

5.若U是拉格朗日子空间,则 $dim(U)={1\over 2}dim (V)$

定理：设L是辛空间 $(V,f)$ 的拉格朗日子空间, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是L的基,则它可扩充为 $(V,f)$ 的辛正交基

证明：

$dim(V)=2n$

$用L_i表示n-1维子空间L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{i-1},\varepsilon_{i+1},\cdots,\varepsilon_n)$

$\because L_i\subset L$

$\therefore L_i^{\perp}\supset L^{\perp}=L$

$又L_1^{\perp}是n+1维子空间$

$\therefore L_1^{\perp}中有向量\varepsilon_{-1}不在L中$

$即f(\varepsilon_1,\varepsilon_{-1})\neq 0$

$不妨设f(\varepsilon_1,\varepsilon_{-1})=1$

$\because \varepsilon_{-1}\in L_1^{\perp}$

$\therefore f(\varepsilon_j,\varepsilon_{-1})=0,j=2,3,\cdots,n$

$在L_2^{\perp}中取一向量\varepsilon_{-2}'不在L中,使f(\varepsilon_2,\varepsilon_{-2}')=1$

$设f(\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2}')=a$

$作\varepsilon_{-2}=a\varepsilon_1+\varepsilon_{-2}'$

$则f(\varepsilon_2,\varepsilon_{-2})=1及f(\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2})=-a+a=0$

$且显然有f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-2})=0,i=1,3,\cdots,n$

$如此继续下去得到(V,f)的基$

$\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-n}\}是(V,f)的辛正交基\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论：设W是 $(V,f)$ 的迷向子空间, $\{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k\}$ 是W的基,则它可扩充成 $(V,f)$ 的辛正交基

证明：

$设L是包含W的极大迷向子空间$

$则L是拉格朗日子空间$

$可先将W的基扩充成L的基$

$再扩充成(V,f)的辛正交基\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：对于辛子空间 $U$ , $f|U$ 也是非退化的,同样 $f|U^{\perp}$ 也非退化

定理：辛空间 $(V,f)$ 的辛子空间 $(U,f|U)$ 的一组辛正交基可扩充成 $(V,f)$ 的辛正交基

证明：

$(U^{\perp},f|U^{\perp})的任一组辛正交基$

$与(U,f|U)的任一组辛正交基$

$合起来即(V,f)的辛正交基\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：令 $(V,f)$ 为辛空间,U和W是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间,则有 $(V,f)$ 的辛变换把U变成W

证明：

$\because 将辛正交基变成辛正交基的线性变换是辛变换$

$又U的及W的基可扩充成(V,f)的辛正交基$

$易证定理成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

辛空间 $(V,f)$ 的两个子空间U及W之间的(线性)同构 $\mathscr{K}$ 若满足

$f(u,v)=f(\mathscr{K}u,\mathscr{K}v),\forall u\in W,v\in V$ ,则称 $\mathscr{K}$ 为V与W间的等距

Witt定理

定理：辛空间 $(V,f)$ 的两个子空间V,W之间若有等距,则此等距可扩充成 $(V,f)$ 的一个辛变换

辛变换的特征值

1. $\mathscr{K}$ 是辛空间 $(V,f)$ 上的辛变换, $\mathscr{K}$ 的行列式为1

2.取定 $(V,f)$ 的辛正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_{-1},\varepsilon_{-2},\cdots,\varepsilon_{-n}$ ,设 $\mathscr{K}$ 在该基下矩阵为K,此时有 $K'JK=J$

定理：设 $\mathscr{K}$ 是2n维辛空间中的辛变换, $K$ 是 $\mathscr{K}$ 在某辛正交基下矩阵,则它的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-K|$ 满足 $f(\lambda)=\lambda^{2n}f({1\over \lambda})$

若设 $f(\lambda)=a_0\lambda^{2n}+a_1\lambda^{2n-1}+\cdots+a_{2n-1}\lambda+a_{2n}$ ,则 $a_i=a_{2n-i},i=0,1,\cdots,n$

证明：

$易知|K|=|J|=1$

$J^2=-E,K=-J(K^{-1})'J$

$\therefore f(\lambda)=|\lambda E-K|=|\lambda E+J(K^{-1})'J|$

$=|\lambda JEJ-J(K^{-1})'J|=|J||\lambda E-(K^{-1})'||K'|$

$=|\lambda K'-E|=|E-\lambda E|$

$=\lambda^{2n}|{1\over \lambda}E-K|=\lambda^{2n}f({1\over \lambda})\qquad \mathcal{Q.E.D}$

注：定理说明,辛变换 $\mathscr{K}$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的(复)根 $\lambda$ 与 ${1\over \lambda}$ 同时出现,且具有相同的重数

在P中的特征值也是一样

又|K|等于 $f(\lambda)$ 的所有(复)根的积, $|K|=1$ ,故特征值 $-1$ 的重数维偶数

又不等于 $\pm 1$ 的复根的重数的和及空间的维数都是偶数,故特征值为+1的重数也是偶数

定理：设 $\lambda_i,\lambda_j$ 是数域P上辛空间 $(V,f)$ 上辛变换 $\mathscr{K}$ 在P中的特征值,且 $\lambda_i\lambda_j\neq 1$ ,设 $V_{\lambda_i},V_{\lambda_j}$ 是V中对应于特征值 $\lambda_i$ 及 $\lambda_j$ 的特征子空间,则 $\forall u\in V_{\lambda_i},v\in V_{\lambda_j}$ ,有 $f(u,v)=0$ ,即 $V_{\lambda_i}$ 与 $V_{\lambda_j}$ 是辛正交的

特别当 $\lambda=\pm 1$ 时, $V_{\lambda_i}$ 是迷向子空间

证明：

$\mathscr{K}u=\lambda_iu,\mathscr{K}v=\lambda_jv$

$\because f(u,v)=f(\mathscr{K}u,\mathscr{K}v)=\lambda_i\lambda_jf(u,v)$

$\therefore (\lambda_i\lambda_j-1)f(u,v)=0$

$\therefore f(u,v)=0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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