所谓聚类，就是将相似的事物聚集在一起，而将不相似的事物划分到不同的类别的过程，是数据分析之中十分重要的一种手段。比如古典生物学之中，人们通过物种的形貌特征将其分门别类，可以说就是一种朴素的人工聚类。如此，我们就可以将世界上纷繁复杂的信息，简化为少数方便人们理解的类别，可以说是人类认知这个世界的最基本方式之一。
在数据分析的术语之中，聚类和分类是两种技术。分类是指我们已经知道了事物的类别，需要从样品中学习分类的规则，是一种有指导学习；而聚类则是由我们来给定简单的规则，从而得到分类，是一种无指导学习。两者可以说是相反的过程。
网上关于聚类算法的资料很多，但是其实大都是几种最基本的方法，如K-means、层次聚类、SOM等，以及它们的许许多多的改进变种。这里，我就来讨论一下这些聚类算法，对它们的表现做一个简单的评估。因为内容有点多（其实主要是图占位置……），所以准备分几次来完成。
在介绍这些算法之前，这里先给出两个简单的测试样品组，下面每介绍完一个算法，可以直接看看它对这两个样品组的聚类结果，从而得到最直观的认识。
下图就是两个简单的二维样品组：
1）第一组样品属于最基本的聚类测试，界线还是比较分明的，不过三个cluster的大小有较明显差异，可以测试一下算法对cluster size的敏感度。样品总共有2000个数据点
2）第二组是典型的甜甜圈形。使用这样的测试组主要是为了考察算法对cluster形状敏感度。共有1500个数据点。
对于这样的两个样品组，人类凭肉眼可以很容易地判断它们应该分为三个cluster（特别是我还用颜色做了区分），但对于计算机就不一定了，所以就需要有足够优秀的聚类算法。
对于聚类，关键的一步是要告诉计算机怎样计算两个数据点的“相似性”，不同的算法需要的“相似性”是不一样的。
比如像以上两组样品，给出了每个数据点的空间坐标，我们就可以用数据点之间的欧式距离来判断，距离越近，数据点可以认为越“相似”。当然，也可以用其它的度量方式，这跟所涉及的具体问题有关。
层次聚类，是一种很直观的算法。顾名思义就是要一层一层地进行聚类，可以从下而上地把小的cluster合并聚集，也可以从上而下地将大的cluster进行分割。似乎一般用得比较多的是从下而上地聚集，因此这里我就只介绍这一种。
所谓从下而上地合并cluster，具体而言，就是每次找到距离最短的两个cluster，然后进行合并成一个大的cluster，直到全部合并为一个cluster。整个过程就是建立一个树结构，类似于下图。
那么，如何判断两个cluster之间的距离呢？一开始每个数据点独自作为一个类，它们的距离就是这两个点之间的距离。而对于包含不止一个数据点的cluster，就可以选择多种方法了。最常用的，就是average-linkage，即计算两个cluster各自数据点的两两距离的平均值。类似的还有single-linkage/complete-linkage，选择两个cluster中距离最短/最长的一对数据点的距离作为类的距离。个人经验complete-linkage基本没用，single-linkage通过关注局域连接，可以得到一些形状奇特的cluster，但是因为太过极端，所以效果也不是太好。
层次聚类最大的优点，就是它一次性地得到了整个聚类的过程，只要得到了上面那样的聚类树，想要分多少个cluster都可以直接根据树结构来得到结果，改变cluster数目不需要再次计算数据点的归属。层次聚类的缺点是计算量比较大，因为要每次都要计算多个cluster内所有数据点的两两距离。另外，由于层次聚类使用的是贪心算法，得到的显然只是局域最优，不一定就是全局最优，这可以通过加入随机效应解决，这就是另外的问题了。
聚类结果
对样品组1使用average-linkage，选择聚类数目为4，可以得到下面的结果。右上方的一些异常点被独立地分为一类，而其余的数据点的分类基本符合我们的预期。
如何确定应该取多少个cluster？这是聚类里面的一个非常重要的问题。对于层次聚类，可以根据聚类过程中，每次合并的两个cluster的距离来作大概判断，如下图。因为总共有2000个数据点，每次合并两个cluster，所以总共要做2000次合并。从图中可以看到在后期合并的两个cluster的距离会有一个陡增。假如数据的分类是十分显然的，就是应该被分为K个大的cluster，K个cluster之间有明显的间隙。那么如果合并的两个小cluster同属于一个目标cluster，那么它们的距离就不会太大。但当合并出来K个目标cluster后，再进行合并，就是在这K个cluster间进行合并了，这样合并的cluster的距离就会有一个非常明显的突变。当然，这是十分理想的情况，现实情况下突变没有这么明显，我们只能根据下图做个大致的估计。
对于测试样品2，average-linkage可谓完全失效，这是由于它对“相似性”的理解造成的，所以只能得到凸型的cluster。
总体而言，像average-linkage这样的算法还是比较稳定的，可以大致地判断聚类数目，聚类效果也不错，在数据量比较小的时候可以使用。
K-means是最为常用的聚类方法之一，尽管它有着很多不足，但是它有着一个很关键的优点：快！K-means的计算复杂度只有O(tkn)，t是迭代次数，k是设定的聚类数目，而n是数据量，相比起很多其它算法，K-means算是比较高效的。
K-means的目标是要将数据点划分为k个cluster，找到这每个cluster的中心，并且最小化函数
上式就是要求每个数据点要与它们所属cluster的中心尽量接近。
为了得到每个cluster的中心，K-means迭代地进行两步操作。首先随机地给出k个中心的位置，然后把每个数据点归类到离它最近的中心，这样我们就构造了k个cluster。但是，这k个中心的位置显然是不正确的，所以要把中心转移到得到的cluster内部的数据点的平均位置。实际上也就是计算，在每个数据点的归类确定的情况下，上面函数取极值的位置，然后再次构造新的k个cluster。这个过程中，中心点的位置不断地改变，构造出来的cluster的也在变化。通过多次的迭代，这k个中心最终会收敛并不再移动。
K-means实际上是EM算法的一个特例（关于EM算法，请猛击这里和这里），根据中心点决定数据点归属是expectation，而根据构造出来的cluster更新中心则是maximization。理解了K-means，也就顺带了解了基本的EM算法思路。
实际应用里，人们指出了很多K-means的不足。比如需要用户事先给出聚类数目k，而这个往往是很难判断的；又如K-means得到的是局域最优，跟初始给定的中心值有关，所以往往要尝试多个初始值；总是倾向于得到大小接近的凸型cluster等等。
K-means算法相比起上面提到的层次聚类，还有一个很大的不同，那就是它需要数据点的坐标，因为它必须要求取平均，而层次聚类实际上并不需要坐标数据，只需要知道数据点之间的距离而已。这也就是说K-means只适用于使用欧氏距离来计算数据点相似性的情况，因为如果采用非欧距离，那么也不能通过简单的平均来得到cluster中心。
聚类结果
取k=3，K-means对样品组1聚类得到下面两张图。为什么是两张图呢？正如前面所说，K-means的聚类结果跟初始中心选择有关，而不是所以的初始值都能保证聚类成功的，下面第二张就是失败的例子。另外由于K-means总倾向于得到接近大小的cluster，所以可以看到两个小的cluster对大cluster的“入侵”。
从上面的结果可以看出，K-means的聚类效果确实不是很好。用户如果选择了不正确的聚类数目，会使得本应同一个cluster的数据被判定为属于两个大的类别，这是我们不想看到的。因为需要数据点的坐标，这个方法的适用性也受到限制。但是效率是它的一个优势，在数据量大或者对聚类结果要求不是太高的情况下，可以采用K-means算法来计算，也可以在实验初期用来做测试看看数据集的大致情况。
