资产价格的实证特性

近十年沪深300指数行情：

output_5_1.png

回报率/收益率

在不考虑利息的情况下，简单回报率可以计算为：
${r_t}^{\prime} = \frac{p_t - p_{t-1}}{p_{t-1}}$
在连续复利的情况下：
$e^{r_t} = \frac{p_t}{p_{t-1}} = 1 + {r_t}^{\prime}$
$r_t = log(p_t)-log(p_{t-1})$
此处 $r_t$ 表示对数收益率（log return）。通常在短期的情况下，价格变化较小， $r_t$ 和 ${r_t}^{\prime}$ 近似相等。而对数收益率有一个好处是，多期的计算直接相加就能得到。

日回报率的性质

在经典的Black-Scholes模型当中，我们假设回报率是正态分布的，价格是服从lognormal分布。然而实际的资产收益的性质却和这个假设大相径庭。实际的资产回报率并非服从正态分布：

回报率大致是对称的
肥尾
峰度更高

我们以沪深300的标准化收益率和标准正态分布进行比较：

Date
2010-01-04   -0.796858
2010-01-05    0.541999
2010-01-06   -0.449203
2010-01-07   -1.383426
2010-01-08    0.153305
                ...   
2021-02-02    1.040928
2021-02-03   -0.217286
2021-02-04   -0.159704
2021-02-05    0.100386
2021-02-08    0.999426

output_13_1.png

肥尾意味着极端情况出现的概率偏高，也就是说实际的风险比在正态分布设定下的风险更大。

判断一组数据是否服从正态分布，我们可以使用Jarque Bera Test以及QQplot。

QQ plot

QQ plot表示把一组数据中不同分位的点和正态分布在该分位下对应的点组成一组并画在坐标系中。红线表示完全符合正态分布，若靠近最左（右）侧的点——较小（大）的分位点——在红线下（上）端，则表示肥尾。

output_18_0.png

Jarque-Bera Test

	沪深300
JB test statistic	2391.794207
p-value	0.00000

第二个数字表示p-value，在显著性水平 $\alpha = 0/01$ 下，p-value< $\alpha$ ，表示拒绝原假设，因此沪深300的收益率的分布不是正态分布。

波动率

当我们描绘资产时，通常会用波动率（Volatility）来表示资产价格的波动情况，波动率一般用收益率的标准差来表示。

波动率我们可以有以下几种方式：

参数法：一般用在随机微方程中，比如几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）
基于已知数据：通过计算收益率的标准差得到
基于条件模型：基于模型以及历史数据得到
随机变量：基于SDE
隐含波动率：通过已知的期权价格，基于期权定价公式倒推出的波动率

波动率聚集

我们在Black-Scholes的假设中，假定资产价格的波动率是恒定的，然而现实情况，波动率并不是一成不变的，而且存在波动率聚集（volatility clustering）现象。所谓波动率聚集，也就是说，高的价格变化往往会延续到下一期，同样低价格变化也会向下一期延续。我们以沪深300指数为例：