week 10

常见概率分布

random.random返回的值不是真正的随机，在数学上被称作伪随机数，但是在实际运用中，和真正的随机数没有本质上的区别，可以忽略

独立事件

大数定律/伯努利定理：在独立可重复的实验中，
如果每次实验中出现某种特定结果的实际概率为p（例如，每次抛硬币正面向上的实际概率为
0.5），那么实验次数接近无穷大时，出现这种结果的比例与实际概率p之间的差收敛于0

大数定律并不意味着如果预期行为出现偏差，那么这些偏差会在未来被相反
的偏差“扯平”

方差

方差描述了集合中接近于均值的数值的比
例。如果很多值都非常接近均值，方差就会很小。如果很多值都非常远离均值，方差就会很大。
如果所有值都一样，方差就是0

标准差

方差描述了集合中接近于均值的数值的比
例。如果很多值都非常接近均值，方差就会很小。如果很多值都非常远离均值，方差就会很大。
如果所有值都一样，方差就是0

使用“标准差”这一概念考虑计算结果可信度和所需样本数量之间的关系

random.seed(0)保证了random.random使用的伪随机数生成器在函数每次运行
时都生成同样的伪随机数序列

变异系数

标准差除以均值所得的值称为变异系数
与标准差相比，变异系数的主要优点是，它可以用来比较具有不同均值的数据集合的离散程
度
一般来说，变异系数的值如果小于1，就可以认为方差很小。

概率分布

• 离散分布
• 连续分布
  • 正态分布

  random.gauss(mu, sigma)
  

  • 二项分布
  • 指数分布
  • 几何分布
    是指数分布的离散模拟
    假设你有一辆很旧的汽车，当你转动钥匙（或按下启动按钮）时，它只有50%的概率能够启动。几何分布就可以用来描述在成功之前尝试启动汽车的次数
  • 本福德分布
  • 对于一个十进制数的集合，如果第一位数字是d的概率符合P(d) = log10(1 + 1/d)，就称它满足本福德定律

散列与碰撞

中心极限定理和理解

• 足够大的样本
• 样本均值 服从正态分布
• 样本的均值可以用来估计总体的样本均值
• 样本的方差可以用来估计总体的样本方差

中心极限定理的应用

即使总体的内在分布不是正态分布，我们也可以根据中心极限定理计算出置信水平和置信区间

置信区间

如果从一个庞大的总体中抽取了一个（任意大小的）独立样本，那么总体均值的最好估计
值就是样本的均值。对于某个规定的置信水平，置信区间宽度的估计要更复杂一些，它部分依赖
于样本大小。

样本多大才足够呢？这取决于总体方差。方差越大，需要的样本数就越多。

当总体分布近似于正态分布时， 30~40个样本已经足够大了。对于更小的样本，最好使用t分布计算置信区间。 t分布与正态分布很相似，但具有肥尾特点，所以算出来的置信区间要更宽一些。