投影矩阵推导

其实问题就是给定y方向的视域角，和视域的宽高比，求投影矩阵。

我们首先假设投影平面距离摄像机的距离为，视域的宽为，高为，近剪裁面距离摄像机的距离为，远剪裁面距离摄像机的距离为，那么首先有：

假设观察坐标系中的任一点，坐标为，通过投影变换到投影平面的坐标为，由相似三角形，得到：

综合上式，求出和：

位于视锥体中的和满足，，那么将其归一化有：

注意到上述求得的和里的分母中均包含，为了用矩阵形式来表达投影变换，必须要借助齐次坐标，有：

因而可得到。同时，我们希望满足：

1. 
2. 对于原始的，如果满足，那么

因为原始的范围为，所以有：

解方程组，得到：

综上，得到最终的投影矩阵为

所以，投影变换后的。

让我们观察下不同情况下和的取值变换的函数曲线。

投影矩阵推导1.png

左边的曲线是，右边的曲线是。不难看出，当和的差距越小时，变换后的精度更高。

在进行投影变换之后，透视除法之前，这时候坐标系称作齐次剪裁空间或者投影空间。在透视除法之后，被称作标准设备坐标系。