这一章首先介绍多元线性回归的及其基本统计量，偏回归系数，决定系数R方及adjusted R方，接着对各自变量的作用进行评价和选择，最后是多元线性回归模型的使用注意事项
知识清单
- 多元线性回归
- 回归模型及方程
- 总体方程的评价指标
- 各自变量的假设检验及评价
1. 多元线性回归
1.1 回归模型及方程
使用条件
- 有线性关系
- 观测值（应变量值）相互独立
- 残差服从正态分布
R语言实现多元线性回归
数据例15-1
# data15_1 <- haven::read_sav(
# file="E:\\医学统计学（第4版）\\各章例题SPSS数据文件\\例15-01.sav")
# colnames(data15_1) <- c("id", "x1", "x2", "x3", "x4", "y")
load(url("https://github.com/x2yline/statistics_note/blob/master/chapter15/%E4%BE%8B15_1.rdata?raw=true"))
head(data15_1, 4)
## id x1 x2 x3 x4 y
## 1 1 5.68 1.90 4.53 8.2 11.2
## 2 2 3.79 1.64 7.32 6.9 8.8
## 3 3 6.02 3.56 6.95 10.8 12.3
## 4 4 4.85 1.07 5.88 8.3 11.6
line.model <- lm(y~x1+x2+x3+x4, data=data15_1)
print(line.model)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = data15_1)
##
## Coefficients:
## (Intercept) x1 x2 x3 x4
## 5.9433 0.1424 0.3515 -0.2706 0.6382
1.2 总体方程的评价指标
该部分指标对应summary(line.model)的部分结果
summary(line.model)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = data15_1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.6268 -1.2004 -0.2276 1.5389 4.4467
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.9433 2.8286 2.101 0.0473 *
## x1 0.1424 0.3657 0.390 0.7006
## x2 0.3515 0.2042 1.721 0.0993 .
## x3 -0.2706 0.1214 -2.229 0.0363 *
## x4 0.6382 0.2433 2.623 0.0155 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.01 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.6008, Adjusted R-squared: 0.5282
## F-statistic: 8.278 on 4 and 22 DF, p-value: 0.0003121
回归方程的方差分析
把总离均差平方和分解为回归平方和与残差平和，再作方差分析
f_stat <- summary(line.model)$fstatistic
cat(f_stat)
## 8.277793 4 22
pf(f_stat[1],
df1=f_stat[2],
df2=f_stat[3],
lower.tail=FALSE)
## value
## 0.0003121289
决定系数R方
与直线回归定义相同，即回归平方和/总离均差平方和
ss1 <- sum((line.model$residuals)^2)
ss2 <- sum((data15_1$y-mean(data15_1$y))^2)
R.squared <- 1-(ss1/ss2)
cat(R.squared)
## 0.6008069
复相关系数: 决定系数开根号
由于R方总会随着模型中自变量的增加而增大，所以后面会有校正的R方这一算法，即去除由于自变量增加的影响，使其值更能反映模型的好坏
校正的R方:
obj_n <- nrow(data15_1)
var_n <- 4
R.adj <- 1-(1-R.squared)*(obj_n-1)/(obj_n-var_n-1)
cat(R.adj)
## 0.5282263
1.3 各自变量的假设检验及评价
偏回归平方和：从回归方程总剔除Xi后，所引起的回归平方和减少量，或在其他自变量的基础上新增Xi引起的回归平和的增加量。用SS回(Xi)表示。
F检验
[
F=\frac{SS_{回}(X_{i})/1}{SS_{残}/(n-m-1)}
]
t检验
和F检验的结果是一致的，其公式为
[
t_{i}=\frac{b_{i}}{S_{b_{i}}}
]
其中，$b_{i}$为偏回归系数的估计值，$S_{b_{i}}$为$b_{i}$的标准误计算比较复杂，自由度为n-m-1。
R语言中各偏平和检验的p值
summary(line.model)$coef
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.9432678 2.8285899 2.1011416 0.04730765
## x1 0.1424465 0.3656530 0.3895674 0.70060210
## x2 0.3514655 0.2042042 1.7211469 0.09925903
## x3 -0.2705853 0.1213938 -2.2289878 0.03634597
## x4 0.6382012 0.2432644 2.6234880 0.01551557
倒数最后两列分别是t统计量和p值
标准化回归系数
由于自变量单位不同，难以从偏回归系数的大小分析其各自的影响程度。
变量标准化是将原始数据减去相应变量的均数，然后再除以该变量的标准差，计算得到的回归方程称作标准化回归方程，相应的回归系数即为标准化回归系数
标准化回归系数没有单位，可以用来比较各个自变量Xi对Y的影响强度，通常在有统计学意义的前提下，标准化回归系数的绝对值愈大说明相应自变量对Y的作用愈大。
一般回归系数有单位，用来解释各自变量对应变量的影响，表示在其它自变量保持不变时， 增加或减少一个单位时Y的平均变化量。不能用各偏回归系数来比较各自变量对Y的影响大小。
标准化回归系数无单位，用来比较各自变量对应变量的影响大小，偏回归系数越大，Xi对Y的影响越大。
