进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数(en:radix)或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

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一. 十进制和二进制互相转换

（1） 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分

1.整数部分

方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。下面举例：

例：将十进制的168转换为二进制

得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）

分析:

    第一步，将168除以2,商84,余数为0。

    第二步，将商84除以2，商42余数为0。

    第三步，将商42除以2，商21余数为0。

    第四步，将商21除以2，商10余数为1。

    第五步，将商10除以2，商5余数为0。

    第六步，将商5除以2，商2余数为1。

    第七步，将商2除以2，商1余数为0。

    第八步，将商1除以2，商0余数为1。

    第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000

2.小数部分

方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分

为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例：

例1：将0.125换算为二进制

得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）

分析:

    第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25。

    第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5。

    第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0。

    第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2：将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）

大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。

那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111

上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是：

    十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换。

    当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法。

    注意他们的读数方向。

因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。

（2） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分

方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。

二进制数的第0位的权值是2的0次方，第一位的权值是2的1次方

例1：将二进制数101.101转换为十进制数。

得出结果：（101.101）2=(5.625)10

分析：

    1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3

    1 + 0 + 4 + 0.5 + 0 + 0.125 = 5.625

例2：将二进制101100100换算为十进制

得出结果：将101100100换算为十进制（356）

分析:

    二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方......

    用横式计算（从右往左算）

    0*2^0 + 0*2^1 +1*2^2 + 0*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 + 1*2^8

    0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

    1*2^2 + 1*2^5 + 1*2^6 + 1*2^8 = 356

    4 + 32 + 64 + 256 = 356

大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：

    要知道二进制每位的权值。

    要能求出每位的值。

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二. 二进制与八进制互相转换

    首先，我们需要了解一个数学关系，即2^3=8，2^4=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。

    接着，记住4个数字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）。

    现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。

（1）  二进制转换为八进制

方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

每一个三位表示一个八位，所以要三三分组，这里需要注意的是，在向左（或向右）取三位时，取到最高位（最低位）如果无法凑足三位，就可以在小数点的最左边（或最右边）补0，进行换算。 分好组以后，对照二进制与八进制数的对应表，将三位二进制按权相加，得到的数就是一位八进制数，然后按顺序排列，小数点的位置不变哦，最后得到的就是八进制数哦。

这里需要注意的是大家在做添0补位的时候，是在小数点最左边或最右边才能添0。

例1：将二进制数101110.101转换为八进制

得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5

例2：将二进制数1101.1转换为八进制

得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4

例3：将二进制数010100.011101转换为八进制

得到结果：将010100.011101转换为八进制为24.35

例4：将二进制数1011.11转换为八进制

得到结果：将1011.11转换为八进制为13.6

（2）  二进制与八进制之间的转换

      首先，我们需要了解一个数学关系，即2^3=8，2^4=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。

接着，记住4个数字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。

1. 将八进制转换为二进制

方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

例1:将八进制数67.54转换为二进制

因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011

大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制

首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变

然后，按每位展开为22，21，20（即4、2、1）三位去做凑数，即a×22+ b×21 +c×20=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数

接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列

最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。

例2:将八进制数543.01转换为二进制

5 4 3. 0 1

101 100 011. 000 001

以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是：

1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换

2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误

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三. 二进制与十六进制互相转换

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四. 八进制与十六进制互相转换

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五. 八进制与十进制互相转换

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六. 十六进制与十进制互相转换