矩阵代数（七）- 维数与秩

小结

坐标系
子空间的维数
秩与可逆矩阵定理

坐标系

选择子空间 $\boldsymbol{H}$ 的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是， $\boldsymbol{H}$ 中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。

假设 $\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}\}$ 是子空间 $\boldsymbol{H}$ 的一组基，对 $\boldsymbol{H}$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{x}$ ，相对于基 $\boldsymbol{\beta}$ 的坐标是使 $\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{b_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{b_p}$ 成立的权 $c_1,\cdots,c_p$ ，且 $\mathbb{R}^{p}$ 中的向量 $\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ v_p \end{bmatrix}$ 称为 $\boldsymbol{x}$ （相对于 $\boldsymbol{\beta}$ ）的坐标向量，或 $\boldsymbol{x}$ 的 $\boldsymbol{\beta}$ -坐标向量。

设 $\boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}=\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$ 。因 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}$ 线性无关，故 $\boldsymbol{\beta}$ 是 $\boldsymbol{H}=Span\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$ 的基。判断 $\boldsymbol{x}$ 是否在 $\boldsymbol{H}$ 中，如果是，求 $\boldsymbol{x}$ 相对于 $\boldsymbol{\beta}$ 的坐标向量。
解：如果 $\boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{H}$ 中，则下面的向量方程是相容的：
$\boldsymbol{c_1}\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix} + \boldsymbol{c_2}\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix}$
如果数 $c_1,c_2$ 存在，则它们是 $\boldsymbol{x}$ 的 $\boldsymbol{\beta}$ -坐标。由行变换得：
$\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
于是 $c_1=2,c_2=3,\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}$ 。

平面H的一个坐标系.png

注意到虽然 $\boldsymbol{H}$ 中的点也在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，但它们完全由属于 $\mathbb{R}^{2}$ 的坐标向量确定。映射 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$ 是使 $\boldsymbol{H}$ 和 $\mathbb{R}^{2}$ 之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且 $\boldsymbol{H}$ 与 $\mathbb{R}^{2}$ 同构。
一般地，如果 $\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_p}\}$ 是 $\boldsymbol{H}$ 的基，则映射 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$ 是使 $\boldsymbol{H}$ 和 $\mathbb{R}^{p}$ 的形态一样的一一映射（尽管 $\boldsymbol{H}$ 中的向量可能有多余 $p$ 个元素）。

子空间的维数

非零子空间 $\boldsymbol{H}$ 的维数（用 $dim \;\boldsymbol{H}$ ）是 $\boldsymbol{H}$ 的任意一个基的向量个数。零子空间 $\{ \boldsymbol{0} \}$ 的维数定义为零。
$\mathbb{R}^{n}$ 空间维数为 $n$ ， $\mathbb{R}^{n}$ 的每个基由 $n$ 个向量组合。 $\mathbb{R}^{3}$ 中一个经过 $\boldsymbol{0}$ 的平面是二维的，一条经过 $\boldsymbol{0}$ 的直线是一维的。

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩（记为 $rank \;\boldsymbol{A}$ ）是 $\boldsymbol{A}$ 的列空间的维数。

确定矩阵的秩：
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$
解：行化简 $\boldsymbol{A}$ 称阶梯形：
$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有3个主元列，因此 $rank \;\boldsymbol{A}=3$

定理 14（秩定理）
如果一矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 列，则 $rank \;\boldsymbol{A} + dim \;Nul \;\boldsymbol{A}=n$

定理 15（基定理）
设 $\boldsymbol{H}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的 $p$ 维子空间， $\boldsymbol{H}$ 中的任何恰好由 $p$ 个元素组成的线性无关集构成 $\boldsymbol{H}$ 的一个基。并且， $\boldsymbol{H}$ 中任何生成 $\boldsymbol{H}$ 的 $p$ 个向量集也构成 $\boldsymbol{H}$ 的一个基。

秩与可逆矩阵定理

定理（可逆矩阵定理（续））
设 $\boldsymbol{A}$ 是一 $n \times n$ 矩阵，则下面的每个命题与 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵的命题等价：
$\begin{aligned} & m. \;\boldsymbol{A}的列向量构成\mathbb{R}^{n}的一个基 \\ & n.\;Col \;\boldsymbol{A}=\mathbb{R}^{n} & &o.\;dim \;Col\;\boldsymbol{A}=n \\ & p.\;rank \;\boldsymbol{A}=n && q.\;Nul\;\boldsymbol{A}=\{\boldsymbol{0}\} \\ &r.\;dim \;Nul \;\boldsymbol{A} = 0\end{aligned}$

矩阵代数（七）- 维数与秩