负载均衡算法 — 平滑加权轮询

首发于樊浩柏科学院

在负载均衡算法 — 轮询一文中，我们就指出了加权轮询算法一个明显的缺陷。即在某些特殊的权重下，加权轮询调度会生成不均匀的实例序列，这种不平滑的负载可能会使某些实例出现瞬时高负载的现象，导致系统存在宕机的风险。为了解决这个调度缺陷，就提出了平滑加权轮询调度算法。

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待解决的问题

为了说明平滑加权轮询调度的平滑性，使用以下 3 个特殊的权重实例来演示调度过程。

服务实例	权重值
192.168.10.1:2202	5
192.168.10.2:2202	1
192.168.10.3:2202	1

我们已经知道通过加权轮询算法调度后，会生成如下不均匀的调度序列。

请求	选中的实例
1	192.168.10.1:2202
2	192.168.10.1:2202
3	192.168.10.1:2202
4	192.168.10.1:2202
5	192.168.10.1:2202
6	192.168.10.2:2202
7	192.168.10.3:2202

接下来，我们就使用平滑加权轮询算法调度上述实例，看看生成的实例序列如何？

算法描述

假设有 N 台实例 S = {S1, S2, …, Sn}，配置权重 W = {W1, W2, …, Wn}，有效权重 CW = {CW1, CW2, …, CWn}。每个实例 i 除了存在一个配置权重 Wi 外，还存在一个当前有效权重 CWi，且 CWi 初始化为 Wi；指示变量 currentPos 表示当前选择的实例 ID，初始化为 -1；所有实例的配置权重和为 weightSum；

那么，调度算法可以描述为：
1、初始每个实例 i 的 当前有效权重 CWi 为 配置权重 Wi，并求得配置权重和 weightSum；
2、选出 当前有效权重 最大的实例，将 当前有效权重 CWi 减去所有实例的 权重和 weightSum，且变量 currentPos 指向此位置；
3、将每个实例 i 的 当前有效权重 CWi 都加上 配置权重 Wi；
4、取到变量 currentPos 指向的实例；
5、每次调度重复上述步骤 2、3、4；

上述 3 个服务，配置权重和 weightSum 为 7，其调度过程如下：

请求	选中前的当前权重	currentPos	选中的实例	选中后的当前权重
1	{5, 1, 1}	0	192.168.10.1:2202	{-2, 1, 1}
2	{3, 2, 2}	0	192.168.10.1:2202	{-4, 2, 2}
3	{1, 3, 3}	1	192.168.10.2:2202	{1, -4, 3}
4	{6, -3, 4}	0	192.168.10.1:2202	{-1, -3, 4}
5	{4, -2, 5}	2	192.168.10.3:2202	{4, -2, -2}
6	{9, -1, -1}	0	192.168.10.1:2202	{2, -1, -1}
7	{7, 0, 0}	0	192.168.10.1:2202	{0, 0, 0}
8	{5, 1, 1}	0	192.168.10.1:2202	{-2, 1, 1}

可以看出上述调度序列分散是非常均匀的，且第 8 次调度时当前有效权重值又回到 {0, 0, 0}，实例的状态同初始状态一致，所以后续可以一直重复调度操作。

此轮询调度算法思路首先被 Nginx 开发者提出，见 phusion/nginx 部分。

代码实现

这里使用 PHP 来实现，源码见 fan-haobai/load-balance 部分。

class SmoothWeightedRobin implements RobinInterface
{
    private $services = array();

    private $total;

    private $currentPos = -1;

    public function init(array $services)
    {
        foreach ($services as $ip => $weight) {
            $this->services[] = [
                'ip'      => $ip,
                'weight'  => $weight,
                'current_weight' => $weight,
            ];
        }
        $this->total = count($this->services);
    }

    public function next()
    {
        // 获取最大当前有效权重实例的位置
        $this->currentPos = $this->getMaxCurrentWeightPos();

        // 当前权重减去权重和
        $currentWeight = $this->getCurrentWeight($this->currentPos) - $this->getSumWeight();
        $this->setCurrentWeight($this->currentPos, $currentWeight);

        // 每个实例的当前有效权重加上配置权重
        $this->recoverCurrentWeight();

        return $this->services[$this->currentPos]['ip'];
    }
}

其中，getSumWeight()为所有实例的配置权重和；getCurrentWeight()和 setCurrentWeight()分别用于获取和设置指定实例的当前有效权重；getMaxCurrentWeightPos()求得最大当前有效权重的实例位置，实现如下：

public function getMaxCurrentWeightPos()
{
    $currentWeight = $pos = 0;
    foreach ($this->services as $index => $service) {
        if ($service['current_weight'] > $currentWeight) {
            $currentWeight = $service['current_weight'];
            $pos = $index;
        }
    }

    return $pos;
}

recoverCurrentWeight()用于调整每个实例的当前有效权重，即加上配置权重，实现如下：

public function recoverCurrentWeight()
{
    foreach ($this->services as $index => &$service) {
        $service['current_weight'] += $service['weight'];
    }
}

需要注意的是，在配置services服务列表时，同样需要指定其权重：

$services = [
    '192.168.10.1:2202' => 5,
    '192.168.10.2:2202' => 1,
    '192.168.10.3:2202' => 1,
];

数学证明

可惜的是，关于此调度算法严谨的数学证明少之又少，不过网友 tenfy 给出的安大神证明过程，非常值得参考和学习。

证明权重合理性

假如有 n 个结点，记第 i 个结点的权重是 $x_i$ ，设总权重为 $S = x_1 + x_2 + … + x_n$ 。选择分两步：
1、为每个节点加上它的权重值；
2、选择最大的节点减去总的权重值；

n 个节点的初始化值为 [0, 0, …, 0]，数组长度为 n，值都为 0。第一轮选择的第 1 步执行后，数组的值为 $[x_1, x_2, …, x_n]$ 。

假设第 1 步后，最大的节点为 j，则第 j 个节点减去 S。
所以第 2 步的数组为 $[x_1, x_2, …, x_j-S, …, x_n]$ 。执行完第 2 步后，数组的和为：
$x_1 + x_2 + … + x_j-S + … + x_n => x_1 + x_2 + … + x_n - S = S - S = 0$

由此可见，每轮选择第 1 步操作都是数组的总和加上 S，第 2 步总和再减去 S，所以每轮选择完后的数组总和都为 0。

假设总共执行 S 轮选择，记第 i 个结点选择 $m_i$ 次。第 i 个结点的当前权重为 $w_i$ 。假设节点 j 在第 t 轮（t < S）之前，已经被选择了 $x_j$ 次，记此时第 j 个结点的当前权重为 $w_j = t \* x_j - x_j \* S = (t - S) \* x_j < 0$ ，因为 t 恒小于 S，所以 $w_j < 0$ 。

前面假设总共执行 S 轮选择，则剩下 S-t 轮 j 都不会被选中，上面的公式 $w_j = (t - S) \* x_j + (S - t) \* x_j = 0$ 。所以在剩下的选择中， $w_j$ 永远小于等于 0，由于上面已经证明任何一轮选择后，数组总和都为 0，则必定存在一个节点 k 使得 $w_k > 0$ ，永远不会再选中节点 j。

由此可以得出，第 i 个结点最多被选中 $x_i$ 次，即 $m_i <= x_i$ 。
因为 $S = m_1 + m_2 + … + m_n$ 且 $S = x_1 + x_2 + … + x_n$ 。所以，可以得出 $m_i == x_i$ 。

证明平滑性

证明平滑性，只要证明不要一直都是连续选择那一个节点即可。

跟上面一样，假设总权重为 S，假如某个节点 i 连续选择了 t（ $t < x_i$ ）次，只要存在下一次选择的不是节点 i，即可证明是平滑的。

假设 $t = x_i - 1$ ，此时第 i 个结点的当前权重为 $w_i = t \* x_i - t \* S = (x_i - 1) \* x_i - (x_i - 1) \* S$ 。证明下一轮的第 1 步执行完的值 $w_i + x_i$ 不是最大的即可。

$w_i + x_i => (x_i - 1) \* x_i - (x_i - 1) \* S + x_i =>$
$x_i^2 - x_i \* S + S => (x_i - 1) \* (x_i - S) + x_i$

因为 $x_i$ 恒小于 S，所以 $x_i - S <= -1$ 。所以上面：
$(x_i - 1) \* (x_i - S) + x_i <= (x_i - 1) \* -1 + x_i = -x_i + 1 + x_i = 1$

所以第 t 轮后，再执行完第 1 步的值 $w_i + x_i <= 1$ 。
如果这 t 轮刚好是最开始的 t 轮，则必定存在另一个结点 j 的值为 $x_j \* t$ ，所以有 $w_i + x_i <= 1 < 1 \* t < x_j \* t$ 。所以下一轮肯定不会选中 i。

总结

尽管，平滑加权轮询算法改善了加权轮询算法调度的缺陷，即调度序列分散的不均匀，避免了实例负载突然加重的可能，但是仍然不能动态感知每个实例的负载。

若由于实例权重配置不合理，或者一些其他原因加重系统负载的情况，平滑加权轮询都无法实现每个实例的负载均衡，这时就需要有状态的调度算法来完成。

负载均衡算法 — 轮询（2018-11-29）