微分方程-高阶微分方程

高阶微分方程

对于高阶微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0$

一般没有普遍的解法，求解告诫微分方程的基本思想是降阶，通过变量变换的方法将方程（2.79）化为阶数较低的方程来求解，从而将问题简化.

接下来看这几类特殊的方程

不显含函数 $y$ 的方程

$F\left(x,\dfrac{\text{d}^k}{\text{d}x^k},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0\;(k\geqslant1)\quad(2.80)$

令 $p=\dfrac{\text{d}^ky}{\text{d}x^k}$ ，则方程（2.80）变为关于 $p$ 的 $n-k$ 阶微分方程

$F\left(x,p,\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-k}y}{\text{d}x^{n-k}}\right)=0\quad(2.81)$

如果能够求出方程（2.81）的通解 $p=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})$ ，则方程

$\dfrac{\text{d}^ky}{\text{d}x^k}=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})\quad(2.82)$

经过 $k$ 次积分后得到的通解

$y=\psi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$

就是方程（2.80）的通解，这里的 $C_j,\;j=1,2,\cdots,n$ 为任意常数.

例

解方程

$x\dfrac{\text{d}^3y}{\text{d}x^3}-2\left(\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}\right)^2+2\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=0$

Sol:

令 $p=\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ ，则

$x\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}-2(p^2-p)=0\quad(2.83)$

当 $p\not=0$ 且 $p\not=1$ 时用分离变量法，可得

$p=\dfrac{1}{1-ax^2}$

其中 $a$ 为任意非零常数.

当 $a>0$ 时，令 $a=C_1^2$ ，则

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{1}{1-C_1^2x^2}$

经过两次积分后解得

$y=\dfrac{1}{2C_1^2}\ln|1+C_1x||1-C_1x|+\dfrac{x}{2C_1}\ln\left|\dfrac{1+C_1x}{1-C_1x}\right|+C_2x+C_3$

当 $a<0$ 时，令 $a=-C_1^2$ ，则

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{1}{1+C_1^2x^2}$

经过两次积分后解得

$y=\dfrac{x}{C_1}\arctan(C_1x)-\dfrac{1}{2C_1^2}\ln(1+C_1^2x^2)+C_2x+C_3$

其中 $C_1\not=0,\,C_2,\,C_3$ 为任意常数.

此外，由于常函数 $p=0$ 和 $p=1$ 也是方程（2.83）的解，因此，函数 $y=C_1x+C_2,\;y=\dfrac12x^2+C_1x+C_2$ 也是原方程的解，其中 $C_1,\,C_2$ 为任意常数.

不显含自变量 $x$ 的方程

$F\left(y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0\quad(2.84)$

这种方程也被称为自治微分方程. 令 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，则方程（2.84）可变为关于 $p$ 的 $n-1$ 阶微分方程.

事实上，若 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，则

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}\cdot\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}$

用数学归纳法容易证明：对任意的 $i<j\leqslant n,\dfrac{\text{d}^jy}{\text{d}x^j}$ 可以用

$y,p,\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y},\cdots,\dfrac{\text{d}^{j-1}p}{\text{d}y^{j-1}}$

来表出. 把它们带入方程（2.84）就得到形如

$G\left(y,p,\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}p}{\text{d}y^{n-1}}\right)=0\quad(2.85)$

的关于 $p$ 的 $n-1$ 阶微分方程，比方程（2.84）低了一阶.

例

解方程

$y\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2-2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=0.$

Sol:

令 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，则

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}.$

故原方程可化为

$yp\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}-p^2-2p=0\quad(2.86)$

易知 $p=0$ 和 $p=-2$ 是方程（2.86）的解. 因此， $y=C,\;y=-2x+C$ 是原方程的解，其中 $C$ 为任意常数.

当 $p\not=0$ 且 $p\not=-2$ 时，使用分离变量的方法，可得方程（2.86）的通解为

$p=C_1y-2,$

其中 $C_1$ 为任意常数. 求解方程

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=C_1y-2$

当 $C_1\not=0$ 时，原方程的通解为

$y=C_2e^{C_1x}+\dfrac{2}{C_1}$

其中 $C_2$ 为任意常数. 当 $C_1=0$ 时，积为上面讨论过的 $p=-2$ 的情况.

齐次方程

$F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0\quad(2.87)$

其中左边是关于变量

$y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}$

的零元齐次函数，即

$F\left(x,ty,t\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,t\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right),\;\forall t\not=0$

显然，当 $y\not=0$ ，齐次方程（2.87）等价于

$F\left(x,1,\dfrac{1}{y}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{1}{y}\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0\quad(2.88)$

若令

$p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$

并以它为新未知函数，则方程就可降低一阶. 事实上，在此所设的假定下，有

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=yp$

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}p+y\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}=y(p^2+\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x})$

用数学归纳法不难证明：对任意的 $1<k\leqslant n,\;\dfrac{1}{y}\dfrac{\text{d}^ky}{\text{d}x^k}$ 可用

$p,\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{k-1}p}{\text{d}x^{k-1}}$

表出. 将这些表达式带入方程（2.88），可得形如

$G\left(x,p,\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}p}{\text{d}x^{n-1}}\right)=0\quad(2.89)$

的关于 $p$ 的 $n-1$ 阶微分方程，比方程（2.87）低了一阶.

例

解方程

$x^2y\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\left(y-x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2.$

Sol:

令 $p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=yp$

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}p+y\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}=yp^2+y\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}$

故原方程可化为

$x^2y^2\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}=y^2-2xy^2p\quad(2.90)$

当 $y\not=0$ 时，方程（2.90）等价于

$x^2\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}=1-2xp$

解得

$p=\dfrac{1}{x}+\dfrac{C_1}{x^2}$

其中 $C_1$ 为任意常数. 因此原方程的通解为

$y=C_2e^{\int p\text{d}x}=C_2xe^{-\frac{C_1}{x}}$

其中 $C_2$ 为任意常数.

此外， $y=0$ 显然时原方程的一个特解，已经包含在上面的通解表达式之中（取 $C_2=0$ 即可）.

全微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=0\quad(2.91)$

其中左边是某个形如

$\varPhi\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}x^{n-1}}\right)$

的表达式对 $x$ 的全导数，即

$F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\varPhi\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}x^{n-1}}\right)$

这里 $n+1$ 元函数 $\varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right)$ 的对各变元的一阶偏导数都存在且连续，故方程（2.91）有形式：

$F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}\right)=\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_1}+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_2}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+\cdots+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_{n+1}}\dfrac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}$

其中函数 $\varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right)$ 的对各变元的一阶偏导数在

$(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1})=\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}x^{n-1}}\right)$

处取值.

此时，方程（2.91）等价于

$\varPhi\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}x^{n-1}}\right)=C\quad(2.92)$

其中 $C$ 为任意常数. 而方程（2.92）是 $n-1$ 阶的，这样就降低了方程（2.91）的阶数. 与一阶微分方程类似，有时方程（2.91）本身不是全微分方程，但有时乘以一个积分因子

$\mu\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x},\cdots,\dfrac{\text{d}^{n-1}y}{\text{d}x^{n-1}}\right)$

后，就变成了全微分方程.

例

解方程

$(1+y^2)\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-2y\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2=0$

Sol:

当 $y'\not=0$ 时，由于

$\dfrac{y''}{y'}-\dfrac{2yy'}{1+y^2}=(\ln|y'|-\ln(1+y^2))'$

故原方程可化为

$\ln|y'|-\ln(1+y^2)=C_0$

其中 $C_0$ 为任意常数，这等价于

$y'=\tilde{C}(1+y^2)\quad(\tilde{C}=\pm e^{C_0}).$

由此解得 $y=\tan(\tilde{C}x+C_2)$ ，其中 $C_2$ 为任意常数.

此外，当 $y'=0$ 时， $y=C$ 也是原方程的解，其中 $C$ 为任意常数.

因此原方程的通解可统一表示为

$y=\tan(C_1x+C_2)$

其中 $C_1,\;C_2$ 为任意常数.

最后编辑于：2019.11.12 23:49:05

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