数论

18世纪数论留下了一些互不相关的成果。欧拉和勒让德贡献了主要著作。

1736年，欧拉证明了费马小定理：如果p是质数，a和p互质，那么a^p-a可以被p整除。1760年欧拉引进Φ函数，或者叫做n的totient（欧拉函数）以推广这个定理：Φ(n)是小于n而与n互质的整数个数，当n是质数时Φ(n)=n-1，接着欧拉证明如果a和n互质，那么a^(Φ(n))-1可以被n整除。

至于费马对x^n+y^n=z^n所做的著名猜测（即费马大定理，n>2时没有正整数解），欧拉证明n=3和4时是正确的，勒让德证明n=5，人们证明费马大定理的历史十分悠久。

费马还猜测，对于n值的一个不定的集合，由式子2^(2^n)+1得到的数是质数。这个猜测对n=0,1,2,3,4成立，但1732年欧拉证明n=5时得到的不是质数，有一个因子是641.事实上目前发现对n>4得到的都不是质数，不过这个式子的重要性在于它出现在高斯论正多边形的可作图性中。

费马曾断言：每个正整数是不多于四个平方数的和（允许一个平方数重复出现，如8=4+4），欧拉花了四十多年试图证明，并得出了一些结果，拉格朗日用了欧拉部分工作证明了这个定理。但欧拉和拉格朗日没有得出一个正整数能表示成几个平方数的和。

1754/1755年欧拉证明了费马的另一个断言：每一个形为4n+1的质数能唯一地分解成两个平方数之和，但欧拉没有使用费马为解决这个问题发明的递降法。欧拉还证明两个互质的平方数之和的每一个因子是两个平方数之和。

1770年爱德华·华林(1734-1798)叙述了一个定理（华林定理）：每个整数是1-9个立方数之和，又，每个整数是1-19个四次方数之和，他继续猜测，每个正整数可以表示为至多r个k次幂之和，其中r依赖于k。不过这些定理他都没有证明。

普鲁士派往俄罗斯的公使哥德巴赫（一个喜爱跟数学家联络感情的富二代）在1742年给欧拉的信中叙述了著名的哥德巴赫猜想，但没有作出证明：每一个偶整数是两个质数之和，每一个奇整数是一个质数或三个质数之和，从关于偶数的哥德巴赫猜想可推出关于奇数的哥德巴赫猜想。

在关于数的分解的研究中，欧拉证明x^4-y^4和x^4+y^4不能是平方数，欧拉和拉格朗日证明了费马的许多断言，大意是某些质数能用特殊方式表示，如欧拉证明了形为3n+1的质数能唯一地表示成形式x^2+3y^2。

数学家也沉迷于亲和数&完全数。欧拉给出了62对亲和数（包括3对已知的，2对错的），他还证明了欧几里得定理（2^(n-1)(2^n-1)在2^n-1为质数时是完全数）的逆定理：每一个完全偶数是形为2^(p-1)(2^p-1)的数，其中第二个因子是质数。

华林的学生John Wilson(1741-1793)是剑桥数学系出身，后来当了律师和法官，他提出了一条定理（威尔逊定理）：对每个质数p，量(p-1)!+1能被p整除，如果这个量能被q整除，那么q也是质数。1773年拉格朗日证明了这个定理。（拉格朗日跟欧拉为这群联想大师付出了太多……）

对求x^2-Ay^2=1的整数解（费马认为A不为完全平方数时有无穷个解），欧拉把这个方程误称为佩尔方程，1759年他把根号A表示成一个连分式，给出了方程解法，但他没有成功证明他的方法总能求出解，且所有解是由根号A的连分式展开给出的。1766年拉格朗日证明了佩尔方程解的存在性，并解决了求系数均为整数的一般二次方程的所有整数解的问题。

18世纪数论最富有创造性的发现是二次互反律。它用了二次剩余的概念，这里我们使用欧拉引入，后由高斯采用的方法：如果存在一个x使x^2-p能被q整除，那么说p是q的二次剩余，如果x不存在，则p是q的二次非剩余。1808年勒让德发明了一个记号（p/q）描述上述情况：对任意数p和任意质数q，当p是q的二次剩余时，p/q=1，反之p/q=-1。

二次互反律说如果p、q是不同的奇质数，那么(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)

1783年欧拉给出了四条定理和第五条总结性的定理，清晰地叙述了二次互反律，但他没有证明，不过他之前的文章里已经涉及了这些工作。1785年勒让德独立给出了定律和不完全证明。19世纪后数论研究的关键课题就是研究这个定律有什么隐藏含义。

1798年勒让德的《数论》是18世纪数论集大成者，这本书包括了数论在内的一些有趣结果，但他没有从中做出抽象的一般性概念，而是由他的后继者完成了这项任务。