坐标系变换

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关键字：OpenCASCADE

屏幕坐标系：以像素为单位 原点位于左上角,从左到右为X正方向，从上到下为Y正方向


image.png

A表示从屏幕坐标系 (原点在左上角 x正向向右 y正向向下）

到 屏幕坐标系,(原点在中心 x正向向右 y正向向上）
A=\begin{bmatrix} 1 &0 & \frac{-W }{2}\\ 0 &-1 & \frac{H }{2}\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix}

A矩阵的意义：1. 将原坐标系中点 经过矩阵运算 得到一个新的点，这个点还是位于原坐标系中
2. 构造了一个新的坐标系,新的坐标系中的点，在原坐标系中的位置点。
而我们要的是，原坐标系中的点,在新坐标系中的位置。所以可以对A求逆。

B = \begin{bmatrix} 1 &0 & \frac{W }{2}\\ 0 &-1 & \frac{H }{2}\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix} ={A^{-1}}

Nw矩阵表示NDC-到窗口坐标系
N_W = \begin{bmatrix} \frac{W}{2} &0 & 0\\ 0 & \frac{H }{2} & 0\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix}
W_N矩阵表示窗口到NDC坐标系
{W_N} = \begin{bmatrix} \frac{2}{W} &0 & 0\\ 0 & \frac{2}{H} & 0\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix} ={N_W}{^{-1}}

所以从像素坐标系到NDC坐标系

{P_N} = {W_N} * A = \begin{bmatrix} \frac{2}{W} &0 & 0\\ 0 & \frac{2}{H} & 0\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 1 &0 & \frac{-W}{2}\\ 0 &-1 & \frac{H }{2}\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{W} &0 & -1\\ 0 & \frac{-2}{ H} & 1\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix}

所以从NDC坐标系到像素坐标系

{N_P} = {P_N}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{W}{2} &0 & \frac{W}{ 2}\\ 0 & \frac{-H}{ 2} & \frac{H}{ 2}\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix}
当给定窗口像素点的坐标(Px,Py),求NDC坐标位置
{P_N} * P = \begin{bmatrix} \frac{2}{ W } &0 & -1\\ 0 & \frac{-2}{ H } & 1\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} Px \\ Py \\ 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{2}{ W } Px -1.0\\ \frac{-2}{ H } Py +1.0\\ 1.0 \\ \end{bmatrix}

OpenCascade中,查看V3d_View中代码
ndc中的点(xn,yn,zn) 窗口中的点(xp,yp)

convert(IXP,IYP,RXV,RYV) 中
xn = xp*2/w - 1.0
yn = (h-yp) * 2 / h - 1.0

convert(RXv, RYv,IXp,IYp) 中
xp = （xn + 1）* W / 2;
yp = H - H(yn+1)/2.0

以上变换满足上面的矩阵推导结果

而
convert(IPX,IPY,Rx,RY,RZ )
xn = 2 * xp / w -1.0;
yn = 2 * (h-1-yp)/w - 1.0;
zn = 2.0 * 0.0 - 1.0;

convert(Rx,RY,RZ ,IPX,IPY)
xp = （xn + 1.0）* W / 2;
yp = H -1 - H(yn+1.0)/2.0

中却不同，不同的原因是变换之前 窗口多了一个偏移量
相当于对于窗口像素坐标加了一个偏移量

OF = \begin{bmatrix} 1 &0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 &0 &1\\ \end{bmatrix}

变换后 再变换到NDC空间
xp = xp
yp = yp+1

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