朴素贝叶斯算法中拉普拉斯平滑的证明

        朴素贝叶斯算法中的拉普拉斯平滑，是为了缓解先验概率为零的情况。在贝叶斯估计中，使用狄利克雷分布作为先验分布，来估计多项分布中的参数值，即可得到拉普拉斯平滑。证明如下：

一、狄利克雷分布

        引入狄利克雷分布的定义，若随机向量符合狄利克雷分布，即 X ～Dir(X_1, \dots ,X_k;\alpha_1, \dots \alpha_k)，其中 X_i \in [0, 1], \sum_{i}^k X_i = 1，设 \alpha = \sum_{i=1}^k \alpha_i，则 X 的概率密度函数为：

f(X) = \frac{ \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} }{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} dX_1 \dots dX_k } = \frac{ \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} }{ \frac{ \prod_{i=1}^k \Gamma(\alpha_i) }{ \Gamma(\alpha) } }


    下面计算随机向量 X 的分量 X_i 的期望。我们通过计算 X_1 来代替，这仍然不失一般性。X_1 的概率密度函数为：

f_1(X_1) = \frac{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} dX_2 \dots dX_k }{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} dX_1 \dots dX_k }

X_1 的期望为：

E(X_1) = \int_0^1 X_1 f_1(X_1) dX_1 = \frac{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} X_1^{\alpha_1} \prod_{i=2}^k X_i^{\alpha_i - 1} dX_1 \dots dX_k }{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i=1}^k X_i^{\alpha_i - 1} dX_1 \dots dX_k }= \frac{ \frac{ \Gamma(\alpha_1 + 1) \prod_{i=2}^k \Gamma(\alpha_i) }{ \Gamma(\alpha + 1) } }{ \frac{ \prod_{i=1}^k \Gamma(\alpha_i) }{ \Gamma(\alpha) } } = \frac{ \Gamma(\alpha_1 + 1) \Gamma(\alpha) }{ \Gamma(\alpha_1) \Gamma(\alpha + 1) } = \frac{ \alpha_1 }{ \alpha }

故，E(X_i) = \frac{ \alpha_i }{ \alpha }


二、多项分布

        引入多项分布的定义，若随机向量满足多项分布，即 X ～ PN(X_1, \dots X_k; p_1, \dots , p_k) ，其中  \sum_{i=1}^k X_i = n, p_i \in [0, 1], \sum_{i}^k p_i = 1，则 X 的分布律为：

P(X_1 = x_1, \dots , X_k = x_k) = \frac{ n! }{ \prod_{i=1}^k x_i! } \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}


        在多项分布参数的贝叶斯估计中，使用狄利克雷分布作为先验分布。设 h(p_1, \dots, p_k;\alpha_1, \dots ,\alpha_k) 为狄利克雷分布的概率密度函数，m(X_1, \dots , X_k; p_1, \dots ,p_k) 为多项分布的分布律，则后验分布为：

P(p_1, \dots ,p_k|X_1, \dots ,X_k) = \frac{ h(p_1, \dots, p_k; \alpha_1, \dots ,\alpha_k) m(X_1, \dots , X_k; p_1, \dots ,p_k) }{ \int_0^1 \dots \int_0^1 h(p_1, \dots, p_k; \alpha_1, \dots ,\alpha_k) m(X_1, \dots , X_k; p_1, \dots ,p_k) dp_1 \dots dp_k}

= \frac{ \prod_{i=1}^k p_i^{x_i + \alpha_i - 1} }{ \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i=1}^k p_i^{x_i + \alpha_i - 1} dp_1 \dots dp_k } ～ Dir(p_1, \dots , p_k; x_1 + \alpha_1, \dots , x_k + \alpha_k)

        由于多项分布的后验分布也是狄利克雷分布，故狄利克雷分布是多项分布的共轭分布。由此可得多项分布参数 p_i 的贝叶斯估计值为：

\hat{p_i} = E(p_i) = \frac{ x_i + \alpha_i }{ x + \alpha }，x = \sum_{i=1}^k x_i, \alpha = \sum_{i=1}^k \alpha_i


三、拉普拉斯平滑

        设 (X, Y) 为数据集中的样本，X 为样本特征向量，Y 为分类变量。 N 为数据集样本数，K 为分类个数，c_i，i = 1, \dots, K 表示第 i 个分类，n_i，i = 1, \dots, K 表示数据集中第 i 个分类的样本数。现在要根据数据集来估计分类的先验概率P(Y = c_i)。

        由于 \sum_{i=1}^K P(Y = c_i) = 1, \sum_{i=1}^K n_i = N，所以这是一个多项分布的参数估计问题。使用上面已经证明的多项分布参数的贝叶斯估计，并设 \alpha_i = \lambda, i = 1, \dots , K，则：

p(Y = c_i) = \frac{ n_i + \lambda }{ N + K \lambda }

        根据数据集估计特定分类下特征值的先验概率，其实就是在该分类的子数据集中进行多项分布的参数估计。按照上面相同的方法，设 n 为特征个数， S_j, j = 1, \dots, n 为第 j 个特征包含的值个数，x_{j,k}, j = 1, \dots, n; k = 1, \dots, Sj 为第 j 个特征的第 k 个值，n_{i, j, k}  为第 i 个分类的数据集中第 j 个特征取第 k 个值的样本数，则：

P(X_j = x_{j,k} | Y = c_i) = \frac{ n_{i,j,k} + \lambda }{ n_i + S_j \lambda }


        这就证明了朴素贝叶斯算法中的拉普拉斯平滑。

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 人面猴
    序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
    沈念sama阅读 219,635评论 6赞 508
  • 死咒
    序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
    沈念sama阅读 93,628评论 3赞 396
  • 救了他两次的神仙让他今天三更去死
    文/潘晓璐 我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
    开封第一讲书人阅读 165,971评论 0赞 356
  • 道士缉凶录：失踪的卖姜人
    文/不坏的土叔 我叫张陵，是天一观的道长。 经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？ 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 58,986评论 1赞 295
  • 港岛之恋（遗憾婚礼）
    正文 为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
    茶点故事阅读 68,006评论 6赞 394
  • 恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
    文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着，像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上，一...
    开封第一讲书人阅读 51,784评论 1赞 307
  • 城市分裂传说
    那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。 笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播，决...
    沈念sama阅读 40,475评论 3赞 420
  • 双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
    文/苍兰香墨 我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
    开封第一讲书人阅读 39,364评论 0赞 276
  • 万荣杀人案实录
    序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
    沈念sama阅读 45,860评论 1赞 317
  • 护林员之死
    正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 38,008评论 3赞 338
  • 白月光启示录
    正文 我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 40,152评论 1赞 351
  • 活死人
    序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
    沈念sama阅读 35,829评论 5赞 346
  • 日本核电站爆炸内幕
    正文 年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
    茶点故事阅读 41,490评论 3赞 331
  • 男人毒药：我在死后第九天来索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 32,035评论 0赞 22
  • 一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
    文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 33,156评论 1赞 272
  • 情欲美人皮
    我被黑心中介骗来泰国打工， 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 48,428评论 3赞 373
  • 代替公主和亲
    正文 我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 45,127评论 2赞 356

推荐阅读更多精彩内容