Linear Algebra 5:Matrix-Vector Products

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1.Matrix-Vector Products

矩阵和向量相乘，结果如下：

从行的角度来看矩阵和向量相乘：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。

从列的角度来看矩阵和向量相乘：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。

因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。

我们可以把A看作Linear System，把向量x作为参数传入Linear System，得到Ax，如下：

2.Example

若输入的x的x_{1} 和x_{2} 分别变为-2x_{1} 和0.5x_{2} ，b_{1} 和b_{2} 的值如何改变？

针对这个Linear System，可以从行的角度和列的角度进行分析，下面从列的角度分析：

将Linear System按列可分为两组A_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{pmatrix}，A_{2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ \end{pmatrix}，A_{1}对应x_{1}，A_{2}对应x_{2}，当x_{1}和x_{2}分别变化时，即对应Linear System的对应列发生变化，如本例题新的A_{1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ \end{pmatrix},A_{2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}。两向量相加得向量B= A_{1} +A_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ \end{pmatrix}，故 \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 2*x_{1} \\ 0.5*x_{2} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 * b_{1} \\ 7 * b_{2} \\ \end{pmatrix}

3.Properties

如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。

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