定义：对于任意矩阵A，都有一个确定的实数与之对应，并且这个实数满足下面4条性质：

• 非负性：除了零矩阵，其他任意矩阵的；
• 齐次性：对任意矩阵A和实数k，都有：；
• 三角不等性：对于任意两个矩阵，都有：；
• 乘法不等性：对于任意两个矩阵，都有：；

说明：任意矩阵都有范数，长方形、正方形、零值、复值矩阵都有范数！但都要满足上面4条。

常用的矩阵范数

本文使用的是长方形矩阵：

下面常用的矩阵范数有3种，下面直接给出定义：

（1）无穷范数/行范数：各行绝对值求和，取最大那个

（2）1范数/列范数：各列绝对值求和，取最大那个

（3）2范数：与转置阵相乘后，取最大特征值的开根号

其中表示的最大特征值；我们知道：一个矩阵的转置与它自己想乘，就会得到一个对称正定阵！并且对称正定阵的特征值都是非负的！所以2范数根号里的东西不可能是负数，2范数的结果也不可能是复数，故仍满足上面的4个条件。

注意：矩阵x哪怕只是个行向量或列向量，所有的范数它也是拥有的！

最后对范数的说明：对于矩阵而言没必要考虑范数的区别，因为有限维空间的范数都等价(Minkowski定理)。后面要根据范数做判断时，既然范数没区别，那么意思就是各种范数都要满足条件。

谱半径

谱半径只针对"方阵"而言！设为n阶方阵A的全部特征值。则称：

为方阵A的谱半径，含义为：绝对值最大的那个特征值(方阵自己的特征值是可以有正有负的)。

注意：方阵A的谱半径不超过其任何一种范数！即：

补充1

上述各种范数，对应matlab中的函数是norm，已亲测norm函数和上文说的内容是一致的。

给一个2范数的例子：(转置*原矩阵)的最大特征的开根号

clear ; clc

a = [1 3 9;2 8 -3;2 0 1];
[x y] = eig(a'*a);  % y矩阵的对角元素是特征值

% 最大特征值开根号:
% 手动实现f2_sd
f2_sd = sqrt( max( diag(y) ) )
% 自带函数f2_sd, 默认也是2范数
f2_zd = norm(a,2)

结果：一致

f2_sd =

    9.6142


f2_zd =

    9.6142