公式 - 简书

公式

频率、角频率、周期之间的关系：
$f=\frac{\omega}{2\pi}$
$T=\frac{1}{f}= \frac{2\pi}{\omega}$

用复数形式表示振动
一个复数 $z=a+bi$ 可以表示复平面的一个矢量，如图1所示

图1

矢量的长度称为

z

的模，即

A=|z|= \sqrt{a^2+b^2}

矢量与实轴的夹角

θ

称为幅角，记为

arg\, \ z

，即

arg\, \ z=\theta= tg^{-1}\frac{b}{a}

复数z的实部和虚部分别是：

Rt(z)＝a＝Acosθ；Im(z)＝b＝Asinθ

用旋转的复数矢量可以表示简谐振动。用复数的模表示振幅；幅角 $θ$ 此时代之以相位角ωt，这时幅角将随时间 $t$ 变化，如图2所示。

图2

复数可以合成指数形式

z=Acos\omega t+iAsin\omega t= Ae^{i\omega t}

用复数旋转矢量在虚轴的投影表示简谐振动

x=Asin\omega t=Im(z)=Im(Ae^{i\omega t})

简写成

x=Ae^{i\omega t}

振动现象本身是实际存在的，用复数表示简谐振动指的是用其中的实部或虚部（我们这里用虚部）来表示振动。

用复数表示振动时，其速度和加速度为：
$\dot x=\frac{dx}{dt}=i \omega Ae^{i\omega t}$
$\ddot x=\frac{d^2x}{dt}=- \omega^2Ae^{i\omega t}$
简谐振动的表示方法中代数方法 $x＝Asinωt$ 比较符合我们的习惯。但在表示同频率简谐振动合成时，矢量表示方法有着物理概念清晰、直观的优点。复数表示方法在求导运算中带来了方便。

公式

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