2024-07-03

应用题

1.已知曲线 $y=f(x)$ 在A处的切线与 $y=kx+b$ 平行，求点A坐标

首先设A点坐标 $A(x_0,f(x_0))$

A处的切线斜率= $k$

A处的切线斜率= $f'(x_0)$

所以有方程 $f'(x_0)=k$

解出 $x_0$ 即可

2.有一个边长为100厘米的正方形纸板，四个角截去四个相同的小正方形，然后四边折起，做成一个无盖的盒子，求截去小正方形边长为多少时盒子容积最大

设截去小正方形边长为 $x$
盒子的底面边长是 $100-2x$
盒子的底面积 $S=(100-2x)^2$
盒子的体积是底面积乘高， $V=S\cdot h$
$V(x)=(100-2x)^2\cdot x$

转化成了求函数 $V(x)=(100-2x)^2\cdot x$ 的最大值
$x\in[0,50]$

$4^2(25-\frac{1}{2}x)^2x$
基本不等式取等条件是 $25-\frac{1}{2}x=x$
此时 $V(x)$ 取最大值。

$V(x)=(l-2x)^2\cdot x$
$4^2(\frac{l}{4}-\frac{1}{2}x)^2x$
基本不等式取等条件是 $\frac{l}{4}-\frac{1}{2}x=x$
此时 $V(x)$ 取最大值。
此时 $x=\frac{l}{6}$ 。
3.求单调区间极值最值不变

4.求凸凹区间拐点不变

填空题

$f(x)\rightarrow0$ ， $g(x)$ 有界，比如 $g(x)=\sin\frac{1}{x}$ ，
则 $f(x)g(x)\rightarrow 0$

$\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$
$\lim_{x\rightarrow 0}\sin{10x}\sin\frac{1}{x}=0$

$g(x)\leq M$
$|f(x)g(x)|\leq M f(x)\rightarrow M\cdot 0=0$
$|f(x)g(x)|\rightarrow 0$

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