2024-07-03

应用题

1.已知曲线y=f(x)在A处的切线与y=kx+b平行，求点A坐标

首先设A点坐标A(x_0,f(x_0))

A处的切线斜率=k

A处的切线斜率=f'(x_0)

所以有方程f'(x_0)=k

解出x_0即可

2.有一个边长为100厘米的正方形纸板，四个角截去四个相同的小正方形，然后四边折起，做成一个无盖的盒子，求截去小正方形边长为多少时盒子容积最大

设截去小正方形边长为x
盒子的底面边长是100-2x
盒子的底面积S=(100-2x)^2
盒子的体积是底面积乘高，V=S\cdot h
V(x)=(100-2x)^2\cdot x

转化成了求函数V(x)=(100-2x)^2\cdot x的最大值
x\in[0,50]

4^2(25-\frac{1}{2}x)^2x
基本不等式取等条件是25-\frac{1}{2}x=x
此时V(x)取最大值。

V(x)=(l-2x)^2\cdot x
4^2(\frac{l}{4}-\frac{1}{2}x)^2x
基本不等式取等条件是\frac{l}{4}-\frac{1}{2}x=x
此时V(x)取最大值。
此时x=\frac{l}{6}。
3.求单调区间极值最值不变

4.求凸凹区间拐点不变

填空题

f(x)\rightarrow0，g(x)有界，比如g(x)=\sin\frac{1}{x}，
则f(x)g(x)\rightarrow 0

\lim_{x\rightarrow 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0
\lim_{x\rightarrow 0}\sin{10x}\sin\frac{1}{x}=0

g(x)\leq M
|f(x)g(x)|\leq M f(x)\rightarrow M\cdot 0=0
|f(x)g(x)|\rightarrow 0

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