2.Sequential Trading

        我们现在改变交易模式并引入标准的世代交错模型。我们放弃零时刻的完全市场交易模式，替换为耐用资产的序列交易，政府债务、无担保法定货币或Lucas树由旧世代传递到新世代

2.1 Money

        在Samuelson版本的模型中，交易以名义货币的交换形式序列出现。在Samuelson的模型中，偏好和遗产如上所述。在时刻，旧一代获得遗产，即本质上一文不值的货币，没有人许诺以商品兑换货币。但是正如Samuelson展示的，存在预期系统使得无担保货币有价值。货币今天有价值，只要人们期望它明天有价值。进而Samuelson设想了一种情形，即货币以人们的期望而不是承诺获得价值。

        个体的最大化问题为：

        说明名义货币有价值。

        构造拉格朗日函数：

        一阶条件为：

        最优化条件：

        跨时预算约束：

        我们获得关于消费和储蓄的需求函数：

        均衡条件为：

        联立得关于的方程：

        由此可以解得均衡价格序列和均衡分配序列

Example:

        取，满足

        最优化条件变为：

        与预算约束联立得：

        进而有：

        解得：

        方程的一个特解为，齐次方程的一个通解为，因此方程的通解为，且有

        我们想验证两个静态均衡：

静态均衡1：

        若通解中，我们有特解

        则

        即高利率均衡

静态均衡2：

        若通解中，

        即低利率均衡

2.2 Equivalence of Equillibria

        我们回看零时刻的均衡交易，指出均衡分配在零时刻类似。我们有两个Proposition，即对遗产的调整和消费分配于最初一代，带有零时刻的竞争性均衡，为序列交易下名义货币经济的均衡分配。

Proposition A:

        设为零时刻的竞争性均衡分配，假定，则有序列交易下名义货币经济的均衡分配，满足

Proposition B:

        设为名义货币经济的均衡分配，则存在有相同分配零时刻交易的竞争性均衡，由最初一代提供遗产，由结算所提供成比例的转移支付

2.3 Extension: Government Spending and Deficit Finance

        考虑下列带有政府支出的时代交错模型，其人口数为常数。

        在每一时刻，个同质的年轻个体获得遗产，这个个体在时刻获得单位的消费品和单位的名义货币

        最初一代有效用函数，后代有效用函数

        在每一时刻，政府有货币供给

    其中是常数政府支出，分别是年轻一代和年老一代的总量税，为价格水平

        若，则GBC变为

        对，每个年轻一代最优化行为：

    其中

        我们有：

        有一阶条件：

        解得储蓄函数

        定义，得GBC为：

        由均衡条件及储蓄函数，得：

        为了求解静态均衡，我们设，则：

        例如，我们假定，有一阶条件：

        解得：

        代入，得：

        代入，得：

        即有：

        若，得

        即有：

        我们再次得到了我们之前讨论过的两个动态均衡：

        一致