动态规划值最小路径和

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

题目分析

• 状态：网格的函数和列数
• 选择：向下移动或者向右移动
• dp数组定义：从位置(0,0)移动到位置(i,j)时的最小路径和。
• 状态转移方程：对于位置(i,j)的网格点，我们只能从其上边(i-1,j)或者左边(i,j-1)这两个网格点移动过来，所以我们只需从这个两个方向过来的路径中选择路径和最小的一条，然后再把当前网格点(i,j)的值加进去。

dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j]

代码实现(C++）

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i=1; i<m; i++) {
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0];
        }
        
        for (int i=1; i<n; i++){
                dp[0][i] = grid[0][i] + dp[0][i-1];
           }
        for (int i=1; i<m; i++){
            for (int j=1; j<n; j++){
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

时间复杂度：O(mn)