概率问题:Gambler's Ruin(赌徒破产理论)

A persistent gambler who raises his bet to a fixed fraction of bankroll when he wins, but does not reduce it when he loses, will eventually and inevitably go broke, even if he has a positive expected value on each bet.

对于一个赌徒,当他赢了时,他把赌注押在固定的资金上,但当他输了时,他不会减少赌注,即使他有一个积极的结果,最终也不可避免地会破产。

问题

A、B赢得所有钱的概率是多少?

假设A、B两个赌徒,A的初始赌资为M、B的初始赌资为N。

游戏玩法是选择硬币的一面,假设当硬币正面向上,A获胜;当硬币反面向上,B获胜。

每次押注金额为一元,获胜方会从失败方获得一元。

A、B不停进行赌博,直到双方中由一方的赌资为0。

A的胜率为p、B的胜率为q(即A的败率)。

PA为A赢得所有钱的概率,PB为B赢得所有钱的概率。

公平的翻转(p=q)

考虑A、B的胜率相同时,即对于每一局博弈而言,是公平的。


M=N的情况下,计算公式为:

PA=M/(M+N)=N/(M+N)=1/2

PB=PA

结论:

这是一个完全公平的博弈,A赢得所有钱的概率和B赢得所有钱的概率相等,都为1/2。


M≠N的情况下,计算公式为:

PA=M/(M+N)

PB=N/(M+N)

结论:

这是一个完全取决于赌注的博弈,谁的赌注多,谁赢得所有钱的概率就越大;

当某一方赌注为无限大时,有限一方赢得所有钱的概率趋向为0,无限一方赢得所有钱的概率趋向为1。

不妨举个例子来看一下:

M=N的情况

假设A有6元,B有6元。A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 6/(6+6)B赢得所有钱的概率为 6/(6+6)


M≠N的情况

假设A有4元,B有8元。

A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 4/(8+4)B赢得所有钱的概率为 8/(8+4)


不公平的翻转(p≠q)

考虑A、B的胜率不同时,即对于每一局博弈而言,是不公平的。


计算公式为:

PA=(1-(p/q)^M)/(1-(p/q)^(M+N))

PB=(1-(q/p)^N)/(1-(q/p)^(M+N))

结论:

……既然在胜率相等的情况下,都注定了赌注有限的一方会失败,那么当赌注少的一方胜率更低时,赌注更多的一方赢得所有钱的概率就更大了。



参考资料

Gambler's ruin - Wikipedia

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