A persistent gambler who raises his bet to a fixed fraction of bankroll when he wins, but does not reduce it when he loses, will eventually and inevitably go broke, even if he has a positive expected value on each bet.
对于一个赌徒，当他赢了时，他把赌注押在固定的资金上，但当他输了时，他不会减少赌注，即使他有一个积极的结果，最终也不可避免地会破产。
问题
A、B赢得所有钱的概率是多少？
假设A、B两个赌徒，A的初始赌资为M、B的初始赌资为N。
游戏玩法是选择硬币的一面，假设当硬币正面向上，A获胜；当硬币反面向上，B获胜。
每次押注金额为一元，获胜方会从失败方获得一元。
A、B不停进行赌博，直到双方中由一方的赌资为0。
A的胜率为p、B的胜率为q（即A的败率）。
PA为A赢得所有钱的概率，PB为B赢得所有钱的概率。
公平的翻转（p=q）
考虑A、B的胜率相同时，即对于每一局博弈而言，是公平的。
M=N的情况下，计算公式为：
PA=M/(M+N)=N/(M+N)=1/2
PB=PA
结论：
这是一个完全公平的博弈，A赢得所有钱的概率和B赢得所有钱的概率相等，都为1/2。
M≠N的情况下，计算公式为：
PA=M/(M+N)
PB=N/(M+N)
结论：
这是一个完全取决于赌注的博弈，谁的赌注多，谁赢得所有钱的概率就越大；
当某一方赌注为无限大时，有限一方赢得所有钱的概率趋向为0，无限一方赢得所有钱的概率趋向为1。
不妨举个例子来看一下：
M=N的情况
假设A有6元，B有6元。A、B的获胜概率为1/2。
则A赢得所有钱的概率为 6/（6+6）B赢得所有钱的概率为 6/（6+6）
M≠N的情况
假设A有4元，B有8元。
A、B的获胜概率为1/2。
则A赢得所有钱的概率为 4/（8+4）B赢得所有钱的概率为 8/（8+4）
不公平的翻转（p≠q）
考虑A、B的胜率不同时，即对于每一局博弈而言，是不公平的。
计算公式为：
PA=(1-(p/q)^M)/(1-(p/q)^(M+N))
PB=(1-(q/p)^N)/(1-(q/p)^(M+N))
结论：
……既然在胜率相等的情况下，都注定了赌注有限的一方会失败，那么当赌注少的一方胜率更低时，赌注更多的一方赢得所有钱的概率就更大了。
参考资料
