2.21 本征向量和本征值

https://www.youtube.com/watch?v=5sHCGsEYtLE&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=35&t=4s

前言

还记得学量子化学时每次本征值本征值的搞的我都头都大了，这节我们就来复习一下线性数学中最重要的本征向量和本征值是啥？然后看看它在量子力学中的重要应用。

1. 一个坐标变换中的特殊向量

假设一个正方形（左图）向一个平行四边形变换（右图）

image.png
- 黄色向量方向没变，长度变长
- 蓝色向量方向变了，长度变长
- 存在粉色向量，方向不变，长度也不变；（神奇）

那么以上的向量中粉色和黄色为本征向量（本征eigen来源德语，它的意思是自身的，或固有的，独特的）

2. 本征值和本征向量

思考量子力学中的常用表达式：
$\hat T |\alpha \rangle = \lambda |\alpha \rangle$

写成线性代数中的形式：
$Ta=\lambda a$
$Ta - \lambda a = 0$
$(T-\lambda 1) a = 0$
其中 $\lambda为本征值$ ， $a就是本征向量$
计算本征值
$\underbrace{(T-\lambda 1)}_{A}a = 0$
假设A矩阵是可逆的，那么
$A^{-1}A a = A^{-1} 0 \Rightarrow a =0$ ，搞了半天向量是0，全都是0，这就没啥意思了。所以A一定要是不可逆的，即 $det(T-\lambda 1) = 0$
利用上述公式可以计算得到本征值 $\lambda$ 的取值
- 假如行列式是n×n矩阵 $\rightarrow$ n阶行列式
- 得到n个本征值（不一定都不相同）
举例
$求下列矩阵的本征值\begin{pmatrix} 1 & -i\\ i & -1 \\ \end{pmatrix}$
根据上面的推导得到行列式如下： $\begin{pmatrix} 1-\lambda & -i \\ i & -a-\lambda \\ \end{pmatrix}=0$
$\Rightarrow -(1-\lambda)(1+\lambda) - (i)(-i) = 0$
$\Rightarrow -1+\lambda^2 -a = 0$
$\Rightarrow \lambda = \pm \sqrt2$
以上就是本征值的求法，那么如何求本征向量呢？
把 $\lambda = \sqrt 2$ 带入上面的等式中 $(A-\lambda 1) a =0$ 中：
$\begin{pmatrix} 1-\sqrt2 & -i \\ i & -a-\sqrt2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$
$\Rightarrow \begin{cases} (1-\sqrt2)x - iy = 0 \ \ \ \ \ \ (1) \\ ix - (1+\sqrt 2)y = 0 \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{cases}$
求解上述二元一次方程组：
- 根据方程组2得到： $x = -i(1+\sqrt2)y$ 带入方程组1，得到 $iy-iy=0（没啥意义）$ (所以通过求解方程组仅得到了x与y的关系)
- $当\lambda = \sqrt 2 时，本征向量等于(x, -i(1- \sqrt 2)x)$
- 同理也可以得到 $当\lambda = \sqrt 2 时的本征向量$

3. 对角化

回忆一下上节讲的那个坐标系变换：
- 算符 $\hat A$ 用basis1可以表示成矩阵A，也可以用本征基矢表示成 $A' = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix}$
  
  image.png
那么根据上节推导：

$A'=S^{-1}AS =\begin{pmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \vdots\\ 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}$

看到这想必有人和我一样懵了：为啥矩阵对角化出来的就一定是本征值呢？
- 于是我开始查资料发现一篇知乎上的文章解决了我的疑惑，结合本人的理解，整理如下：
  
  知乎托比欧
- 关于为什么矩阵A可以乘到矩阵S里面去：
  矩阵的乘法可以理解成坐标变换，比如两个矩阵A 和S 相乘： AS 代表的是，先将坐标按照矩阵S进行一个坐标变换，然后再按矩阵A再进行一次坐标变化。（注意顺序是从右往左）
  
  image.png
- 接下来上述方程可以接着化为：

image.png

即： $AS = S A' \\ \Rightarrow A' = S^{-1} A S$
注意了，上式说明：矩阵可以对角化的前提是S有逆矩阵，S有逆矩阵的前提是 $det(S) \neq 0$ , S的行列式非零的前提条件是特征向量(S中的每一竖列)非线性相关，即特征值都不相同。

4. 厄米变换

回忆一下：厄米变换的本质就是转置加共轭后矩阵不变
- 矩阵沿中间线对称
- 复数都分布在中间线两边对称位置（符号相反）
厄米变换的特性：
- $a^{+} A b \Rightarrow [A^+ a ] b\\ 即 \langle \alpha | \hat A \beta \rangle = \langle \hat A \alpha | \beta \rangle$
- 这样理解：
  - 你看下图，两边a和A行列相乘，当A的转置（共轭）都相等的时候，其实本质是一样的。
    
    image.png

根据上面的特性可以得到厄米矩阵的一般性质：
其中 $\hat T | \alpha \rangle = \lambda | \alpha \rangle$
- 如果A为厄密矩阵，A的本征值为实数
  证明：首先
$\langle \alpha | \hat T \alpha \rangle = \langle \alpha | \lambda \alpha \rangle = \lambda \langle \alpha | \alpha \rangle$

其次
$\langle \alpha | \hat T \alpha \rangle = \langle \hat T \alpha | \alpha \rangle = \langle \lambda \alpha | \alpha \rangle = \lambda^* \langle \alpha | \alpha \rangle$
就是说：由于厄米矩阵的转置共轭等于自己本身，所以根据这个性质推导出来： $\lambda \langle \alpha | \alpha \rangle = \lambda^* \langle \alpha | \alpha \rangle$ ，只有实数的共轭等于自身呀，所以 $\lambda$ 肯定是实数。
- A的不同本征向量（对应的本征值也不同）是相互正交的
  这就不打字了，看下图，就是说只有当 $\alpha 和 \beta正交，下面的等式才能成立！$ ：
  
  image.png