《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》

游戏A:
甲乙两人面对若干堆石子,其中每一堆石子的数目可以任意确定。例如图1所示的初始局面:共n=3堆,其中第一堆的石子数a1=3,第二堆石子数a2=3,第三堆石子数a3=1。两人轮流按下列规则取走一些石子,游戏的规则如下:
 每一步应取走至少一枚石子;
 每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子;
 如果谁无法按规则取子,谁就是输家。
游戏B:
 甲乙双方事先约定一个数m,并且每次取石子的数目不能超过m个;
 其余规则同游戏A。
游戏C:
甲乙两人面对若干排石子,其中每一排石子的数目可以任意确定。例如图2
所示的初始局面:共n=3排,其中第一排的石子数
a1=7,第二排石子数a2=3,第三排石子数a3=3。两人轮流按下列规则取走一些石子,游戏的规则如下:
每一步必须从某一排中取走两枚石子;
这两枚石子必须是紧紧挨着的;
如果谁无法按规则取子,谁就是输家。
回忆游戏A的结论,以及它在游戏B上的推广,对于游戏C,我们的想法是
设计一个函数f,把函数f的值看作是二进制数。对于任意一个初始局面S,设S=(a1, a2, …, an),令#S=f(a1)+f(a2)+…+f(an)。若#S≠0,则先行者(甲)有必胜策略;否则#S=0,这时后行者(乙)有必胜策略。
游戏A中,f(x) = x。
游戏B中,f(x) = x mod (m + 1)。
游戏C中,f(x) = ?。
关键就在于如何构造一个满足要求的函数f。

回忆关于游戏A、B的结论的证明过程
函数f是否满足要求,关键在于#S是否满足下面的条件。
 若#S=0,则无论先行者如何取子S→T,都有#T≠0。
 若#S≠0,则先行者必然存在一种取子方法S→T,且#T=0。
用符号$(x),表示局面(x)的下一步所有可能出现的局面的集合。
在游戏A中,$(3)={(2), (1), (0)}。
在游戏B中,若m=4,则$(9)={(8), (7), (6), (5)},$(2)={(1), (0)}。
在游戏C中,$(7)={(5), (1, 4), (2, 3)}。
定义集合g(x):设$(x)={S1, S2, …, Sk},则g(x)={#S1, #S2, …, #Sk}。
在游戏A中,$(3)={(2), (1), (0)},故g(3)={#(2), #(1), #(0)}={10, 01, 00}。
在游戏B中,若m=4,则g(9)={#(8), #(7), #(6), #(5)},g(2)={#(1), #(0)}。
在游戏C中,g(7)={#(5), #(1, 4), #(2, 3)}。
用大写字母N表示非负整数集,即N={0, 1, 2, …}。
令N为全集,集合G(x)表示集合g(x)的补集。
定义函数f(n):f(n)=min{G(n)},即f(n)等于集合G(n)中的最小数。
设局面S=(a1, a2, …, an),#S=f(a1)+f(a2)+…+f(an),采用二进制数的加法。
若#S=0,则S负;若#S≠0,则S胜。
游戏C的f值:
 g(0)={},G(0)={0, 1, …},f(0)=0;
 g(1)={},G(1)={0, 1, …},f(1)=0;
 g(2)={#(0)}={f(0)}={0},G(2)={1, 2, …},f(2)=1;
 g(3)={#(1)}={f(1)}={0},G(2)={1, 2, …},f(3)=1;
 g(4)={#(2), #(1, 1)}={f(2), f(1)+f(1)}={1, 0},G(4)={2, 3, …},f(4)=2;
 g(5)={#(3), #(1, 2)}={f(3), f(1)+f(2)}={1, 1},G(5)={0, 2, 3, …},f(5)=0;
 g(6)={#(4), #(1, 4), #(2, 2)}={2, 1, 0},G(6)={3, 4, …},f(6)=3;
 g(7)={#(4), #(1, 4), #(2, 3)}={2, 2, 0},G(7)={1, 3, 4, …},f(7)=1;

结论
此类搏弈游戏的一般性解法:
用一个n元组(a1, a2, …, an),来描述游戏过程中的一个局面。
用符号#S,表示局面S所对应的二进制数。
用符号$(x),表示局面(x)的下一步所有可能出现的局面的集合。
定义集合g(x):设$(x)={S1, S2, …, Sk},则g(x)={#S1, #S2, …, #Sk}。
令非负整数集为全集,集合G(x)表示集合g(x)的补集。
定义函数f(n):f(n)=min{G(n)},即f(n)等于集合G(n)中的最小数。
设局面S=(a1, a2, …, an),#S=f(a1)+f(a2)+…+f(an),采用二进制数的加法。
若#S≠0,则先行者有必胜策略;若#S=0,则后行者有必胜策略。

适用范围和限制条件:
 甲乙两人取石子游戏及其类似的游戏;
 每一步只能对某一堆石子进行操作;
 每一步操作的限制,只与这堆石子的数目或一些常数有关;
 操作在有限步内终止,并不会出现循环;
 谁无法继续操作,谁就是输家。

游戏D(POI’2000,Stripes):
一排石子有L个,甲乙两人轮流从中取“紧紧挨着的”A或B或C枚石子。谁不能取了,谁就是输家。已知A, B, C, L,问甲乙二人谁有必胜策略。

#include<cstdlib>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int color[3];//连续取的石子的颗数
int fx[1010];//函数f(x),f(x)不为0,为利己态。
/*
**用符号$(x),表示局面(x)的下一步所有可能出现的局面的集合。
**定义集合g(x):设$(x)={S1, S2, …, Sk},则g(x)={#S1, #S2, …, #Sk}。
**用大写字母N表示非负整数集,即N={0, 1, 2, …}。
**令N为全集,集合G(x)表示集合g(x)的补集。
**定义函数f(n):f(n)=min{G(n)},即f(n)等于集合G(n)中的最小数。
*/
void init()
{
    for(int i=0;i<=1000;i++)//枚举每段区间[0,i]
    {
        int g[1010];//记录局面x下一步出现的所有的局面的结合:g(x)
        memset(g,0,sizeof(g));
        for(int j=0;j<3;j++)//石子的三种数量
        for(int k=color[j];k<=i;k++)
        {
            //在区间[0,i]中,在不同位置取走color[j]颗石子
            //即k是这color[j]颗石子的右端点。

            int t=fx[k-color[j]]^fx[i-k];
            //k-color[j]是左边剩下的石子数量,成为一个局新面;
            //i-k为右边剩下的石子的数量,成为一个新局面

            g[t]=1;
            //标记g(#(left局面,right局面)),
            //其中,#(left局面,right局面)=left局面^right局面.
        }
        for(int j=0;j<=1000;j++)
        if(!g[j])
        {   //G(x)为g(x)的补集,放f(x)=min(G(x)),
            //而集合g(x)的所有元素已经标记为1;
            //所以对于第一个等于0的g[j],j就是min(G(x))

            fx[i]=j;
            //f(i)的解为min(G(x)),也就是j
            break;
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&color[0])!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<3;i++)
        scanf("%d",&color[i]);
        memset(fx,0,sizeof(fx));
        init();
        int t;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            int n;
            scanf("%d",&n);
            if(fx[n]==0) puts("2");
            else  puts("1");
        }
    }
}

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 204,293评论 6 478
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 85,604评论 2 381
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 150,958评论 0 337
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 54,729评论 1 277
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 63,719评论 5 366
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 48,630评论 1 281
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 38,000评论 3 397
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 36,665评论 0 258
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 40,909评论 1 299
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 35,646评论 2 321
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 37,726评论 1 330
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 33,400评论 4 321
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 38,986评论 3 307
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 29,959评论 0 19
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,197评论 1 260
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 44,996评论 2 349
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 42,481评论 2 342

推荐阅读更多精彩内容