MBA老吕数学-5-几何

@(MBA备考)

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1 平面图形

三角形

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

常用面积公式：
$S=\frac{1}{2}ab \cdot sinC，\angle C$ 是a，b边所夹的角

海伦公式：(p是三角形周长的一半)
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

内外切圆半径求面积： $S=rp=\frac{abc}{4R}$ ,r是内切圆半径，R是外接圆半径，p是周长一半
等边三角形面积：a是边长
$S=\frac{\sqrt3}{4}\cdot a^2$

三角形有：重心（中线1：2）、垂心（高）、内心（角平分线，内切圆心）、外心（垂直平分线，外接圆心）
等边三角形四心合一，称为“中心”

四边形

平行四边形面积：a为底边高为h
$S=a \cdot h$
菱形面积：两 $l$ 是两条对角线
$S=a \cdot h= \frac{1}{2}l_1\cdot l_2$
梯形中位线：
$l=\frac{a+b}{2}$
梯形面积：
$S = \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

多边形内角和= $180^。×(n-2)$
四边形=360 ；五边形=540 ；六边形=720

蝴蝶定理

[图片上传失败...(image-5ec3fe-1572102303129)]
任意梯形有：左右相等，上下相似。① $S_{II} = S_{III}$ ， ② $\Delta_I ∽ \Delta_{IV}$ 相似比为 $=\frac{AO}{OC}$

圆与扇形

过圆心的弦，是圆内最长的弦，称为直径。
度与弧度： $180^。=π ，60^。=\frac{π}{3}$
圆心角，圆周角，弦切角
扇形弧长： $l=\frac{α}{360}\cdot 2πr=r\cdot θ$ ,θ是扇形弧度数，α为扇形的角度
扇形面积： $S=\frac{α}{360}\cdot πr^2=\frac{1}{2}lr$ ，α为扇形的角度，l为扇形弧长

2 空间几何体

长方体对角线 $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
球体体积： $V=\frac{4}{3}πR^3$
球体表面积： $S=4πR^2$

3 解析几何

点

两点间距离：
$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
中点坐标公式：
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

直线

垂直于x轴的线，没有斜率，斜率常用k表示。
点斜式方程：无法表示无斜率(垂直)的线
$y-y_0=k(x-x_0)$
斜截式方程：无法表示无斜率(垂直)的线
$y=kx+b$
两点式方程：无法表示(垂直+水平)的线
$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
截距式方程（特殊两点式）：过（a,0）(0,b)两点，**无法表示(垂直+水平)的线
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
一般式：（A,B不同时为0）
$Ax+By+C=0,k=-\frac{A}{B}$

三角形 $\Delta ABC$ 三个角坐标(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3),则三角形的<font color=red>重心坐标</font>是：
$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

两斜率分别为 $k_1,k_2$ 的直线相互垂直,则：
$k_1 \cdot k_2 =-1$

点与直线

点不在直线上时，点 $(x_0,y_0)$ 到直线Ax+By+C=0的距离d为：
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

求点关于直线的对称点：点 $(p_1,p_1)$ 与点 $(p_2,p_2)$ 关于直线Ax+By+C=0对称。则有：
$\begin{cases} A(\frac{x_1+x_2}{2})+B(\frac{y_1+y_2}{2})+C=0 \\ \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{B}{A} \end{cases}$

直线与直线

两直线平行

斜截式
$l_1 //\ l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2,b_1 \neq b_2$
一般式
$l_1 //\ l_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
平行线距离
$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

两直线相交

一般式下：
$两直线相交 \Leftrightarrow \frac{A_1}{B_1}\neq \frac{A_2}{B_2}$
交点
联立两直线式，求唯一解。
夹角：（斜截式，两线不垂直）
$tan\ α=\left| \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2} \right|$

垂直

斜率乘积 $=-1$
$k_1 \cdot k_2 =-1$
一般式：
$\frac{A_1}{B_1}=\frac{-B_2}{A_2}$

圆

标准方程：
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
一般方程：
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$
$(x+\frac{D}{2})^2 + (y+\frac{E}{2})^2 = \big(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\big)^2$
圆心： $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$
半径： $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$

点与圆

与圆心的距离>r , =r , <r。三种情形

直线与圆

d>r , d=r , d < r

圆的切线

过圆上 $P(x_0,y_0)$ 作圆的切线。
切线标准式：
$x_0x+y_0y=r^2$
切线一般式：
$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$

圆与圆

两圆圆心半径分别为： $O_1,r_1;O_2,r_2$ 圆心距为d
外离： $d>r_1+r_2$
外切： $d=r_1+r_2$
相交： $|r_1-r_2|<d<r1+r2$
内切： $d=|r1-r2|$
内含： $d<|r_1-r_2|$

其他

1、三角形的相似与全等

相似三角形的两种用法：

用来求线段长度或线段之间的关系
面积比等于相似比的平方

2、求阴影部分的面积（重点）

常用割补法，将不规则图形转化为规则图形
要找到图形之间的等量关系
真题的图形肯定是准确的，可以用尺子和量角器量，在进行估算。简单有效。

3、空间几何体问题

长方体（正方体/圆柱体）外接球直径 = 长方体（正方体/圆柱体）的体对角线长
正方体内结球直径 = 正方体棱长
圆柱体内结球：内结球直径 = 圆柱体的高；内结球横截面 = 圆柱体的底面

4、直线与直线位置关系

平行：斜率相等且截距不等，或两直线的斜率都不存在
相交：①斜率不等 ②或一条直线斜率存在，另一条不存在
垂直

5、直线与圆的位置关系（重点）

实质是圆心到直线的距离。
求圆切线方程时，先设直线方程为Ax+By+C=0 或 y=k(x-a)+b，再利用点到直线的距离等于半径，来求。

6、圆与圆的位置关系

圆与圆有五种关系：相离、外切、内切、相交、内含
知圆到弦的距离求弦长，用直角三角形勾股定理。
【易错点】如果题目说两圆相切，一定要注意可能有两种情况，内切与外切。

已知两圆C1、C2相交，则有：两圆公共弦的直线方程 = 两圆方程相减

7、过定点问题

恒过定点问题：

方法一：先整理成形如 aλ+b=0 的形式，再令a=0，b=0
方法二：直接把λ取特殊值，如0，1代入组成方程组，即可求解。

$(A_1x+B_1y+C_1)λ+(A_2x+B_2y+C_2)=0$ 的图像必经过两直线 $A_1x+B_1y+C_1=0，A_2x+B_2y+C_2=0$ 的交点。

8、对称问题

正方形

形如 $|x+a|+|y+b|=c$ 的方程表达的是正方形。
矩形周长L不变时，当边长 $a=\frac{1}{4}L$ 时，即成正方形时，面积最大。

圆的切割线定理

image.png

$|CP|^2=|AP|\cdot|BP|$

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

常用数值

<font color=red>不考三角函数</font>
几个常见三角函数数值得会
$sin0^。=cos90^。= 0$
$sin30^。=cos60^。=\frac{1}{2}$
$sin45^。=cos45^。=\frac{\sqrt2}{2}$
$sin60^。=cos30^。=\frac{\sqrt3}{2}$
$sin90^。=cos0^。= 1$
$sin α = sin(180^。- α)$