从简单过程到伊藤积分

随机积分的定义

随机积分，类似于普通的黎曼积分，只不过是在积分中添加了一点随机性（randomness）。我们希望使得如下的等式有意义：

$\Large d X_{t}=m\left(t, X_{t}\right) d t+\sigma\left(t, X_{t}\right) d B_{t}\tag{1}$

其中 $B_t$ 是标准布朗运动，这是一个随机微分方程（SDE）的例子。我们这样来理解随机过程 $X_t$ ，在时刻 $t$ ，它表现的像具有偏移 $m(t, X_t)$ 和方差 $\sigma\left(t, X_{t}\right)^2$ 的布朗运动。

We should read this equation as stating that at time $t$ , $X_t$ is evolving like a Brownian motion with drift $m(t, X_t)$ and variance $\sigma(t, X_t)^2$ .

在微积分中，是先定义导数再定义积分的。在随机微积分，我们是先定义积分再定义微分的。我们说 $X_t$ 是式(1)的解，如果：

$\Large X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t} m\left(s, X_{s}\right) \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \sigma\left(s, X_{s}\right) \mathrm{d} B_{s}\tag{2}$

包含 $\mathrm{d}s$ 的那一项，可以用正常的微积分来定义。尽管 $m(t,X_t)$ 是随机的，但并不妨碍我们定义它。关键在于第二项，这个问题，归结为我们如何使得：
$\Large Z_t=\int^t_0 A_s \;\mathrm{d} B_s \tag{3}$

这个式子有意义！我们将 $Z_t$ 视作在 $t$ 时刻具有方差 $A_s^2$ 的“布朗运动”。类似于离散随机积分（一个鞅与可料过程的结合）， $A_t$ 可以视作在 $t$ 时刻的赌注，那么 $Z_t$ 就是在 $t$ 时刻的总资产。

布朗运动的轨道不是有界变差的，意味着我们没有办法用Riemann积分的方式来定义随机积分。

实变函数中，定义勒贝格积分的时候，我们先对简单函数定义勒贝格积分，再将一般函数的勒贝格积分定义为一列趋近于该函数的简单函数的积分的极限。随机积分也是一样的，先定义什么是简单随机过程，再把一般随机过程的随机积分定义为一列逐渐逼近的简单随机过程积分的极限。

如果一个随机过程在有限个时间段内是“固定”着的随机变量，也即：

$\Large A_{t}=Y_{j}, \quad t_{j} \leq t<t_{j+1}, j=0, 1, ..., n\tag{4}$

$Y_j$ 是一个随机变量。我们就称它为简单过程（simple process）。继而定义：

$\Large Z_{t_{j}}=\sum_{i=0}^{j-1} Y_{i}\left[B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right], \quad Z_{t}=Z_{t_{j}}+Y_{j}\left[B_{t}-B_{t_{j}}\right] \quad \text { if } \;\;\; t_{j} \leq t \leq t_{j+1}\tag{5}$

正如我们所希望的，一个轨道连续的随机过程可以用简单过程来进行（ $L^2$ ）逼近：

设 $A_t$ 是一个轨道连续的适应过程，如果存在一个常数 $C < \infty$ ，使得 $\forall t \geq 0, |A_t| \leq C$ ，那么存在一列简单随机过程 $A_t^{(n)}$ ，使得
$\forall t \geq 0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[\left|A_{s}-A_{s}^{(n)}\right|^{2}\right] d s=0$ 同时， $\forall n, t$ 都有 $A_t^{(n)}\leq C$ 。

最后，一般地，对于有界的、轨道连续的适应过程，定义它的积分：

$\Large Z_{t}=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} A_{s}^{(n)} \mathrm{d} B_{s}\tag{6}, \quad A_s^{(n)} \to_{L^2}A_s$

$Z_t$ 的存在性源于 $L^2$ 空间的完备性。注意这里和勒贝格积分的区别，简单函数列的收敛是几乎处处而非 $L^2$ 的。

我们还可以进一步放宽 $A_t$ 应当具有的条件。只要 $A_t$ 的轨道是分段连续（只有有限个不连续点），哪怕 $A_t$ 无界，仍然可以给出积分的定义。（在此从略）

这样定义出的积分有如下性质：

线性： $\small \int_{0}^{t}\left(a A_{s}+b C_{s}\right) d B_{s}=a \int_{0}^{t} A_{s} d B_{s}+b \int_{0}^{t} C_{s} d B_{s}$
区间可加性： $\small \int_{0}^{t} A_{s} d B_{s}=\int_{0}^{r} A_{s} d B_{s}+\int_{r}^{t} A_{s} d B_{s}$
鞅性：过程 $Z_t$ 是一个鞅，并且 $\small E[Z_t]=E[Z_0]=0$
方差： $\small \operatorname{Var}\left[Z_{t}\right]=\mathbb{E}\left[Z_{t}^{2}\right]=\int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[A_{s}^{2}\right] d s$
二次变差： $Z_t$ 具有二次变差 $\small \int^t_0 A_s^2 \;\mathrm{d} s$

如果 $\small \int_0^t \mathbb{E}[A^2_s]\mathrm{d}s$ 无界，那么此时 $Z_t$ 是一个局部鞅（local martingale）

接下来，我们来看一下随机积分与黎曼积分的不同。考虑积分 $\small Z_{t}=\int_{0}^{t} B_{s} \;\mathrm{d} B_{s}$ 如果我们简单应用微积分基本定理，有： $\small Z_{t}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-B_{0}^{2}\right] =\frac{B_{t}^{2}}{2}$ 但是 $E[Z_t]=0\neq E[\frac{B_t^2}{2}]=\frac{t}{2}$ ，所以，微积分基本定理简单应用在伊藤意义下的随机积分中并不成立。事实上，应用下面所述的伊藤公式，我们知道 $Z_{t}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-t\right]$ （注意到这个等式的右边并不服从正态分布！）。

随机积分的另一种形式：Stratonovich积分，是与微积分基本定理相容的。
关于Stratonovich积分，参见我写的一篇知乎文章：Stratonovich 积分初探

伊藤公式

伊藤公式非常类似Taylor展开，当然，它本身就是通过Taylor展开来推导的。伊藤公式告诉了我们如何去求一个复杂随机过程的微分，如果我们能将一个随机过程表示成式(1)一般的形式，就能更好地了解这个随机过程的性质。

下面我们从简单形式的伊藤公式一步步走向完整形式的伊藤公式：

先考虑布朗运动的函数。设 $f$ 是一个光滑函数，那么：
$\small d f\left(B_{t}\right)=f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{t}\right) d t$ 因为，布朗运动的二次变差不为0，所以上面的公式，与我们熟悉的 $f(t)=f(0)+\int_{0}^{t} f^{\prime}(s) \mathrm{d} s$ 还是有所不同的。

接下来我们通过Taylor公式推导。不失一般性，我们只考虑 $t=1$ ，把 $f(B_1)-f(B_0)$ 写成 telescoping 的形式：
$\Large f\left(B_{1}\right)-f\left(B_{0}\right)=\sum_{j=1}^{n} \left[f\left(B_{j / n}\right)-f\left(B_{(j-1) / n}\right)\right] \tag{7}$

再利用Taylor公式：

$\Large \begin{array}{l} f\left(B_{j / n}\right)-f\left(B_{(j-1) / n}\right) =f^{\prime}\left(B_{(j-1) / n}\right) \Delta_{j, n}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{(j-1) / n}\right) \Delta_{j, n}^{2}+o\left(\Delta_{j, n}^{2}\right) \\ \text{where }\quad\Delta_{j, n}=B_{j / n}-B_{(j-1) / n} \end{array} \tag{8}$

于是，我们可以把 $f(B_1)-f(B_0)$ 写成三项的和：

$\large \begin{array}{l} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} f^{\prime}\left(B_{(j-1) / n}\right)\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right] \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} f^{\prime \prime}\left(B_{(j-1) / n}\right)\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right]^{2} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} o\left(\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right]^{2}\right) \end{array}\tag{9}$

第一项，就是 $\int_{0}^{1} f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}$ ，第二项，就是 $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{\prime \prime}\left (B_{t}\right) d t$ （要用到二次变差！即 $(dB_t)^2=dt$ ），第三项，可以说明它是一个无穷小量。

至此，我们简略说明了伊藤公式的证明。

例：

令 $f(x)=x^2$ ，就得到了 $\int_{0}^{t} B_{s} \;\mathrm{d} B_{s}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-t\right]$
令 $f(x)=e^{\sigma x}, \sigma >0, X_t=f(B_t)=e^{\sigma B_t}$ ，根据伊藤公式，我们有： $\Large d X_{t}=f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{t}\right) d t=\sigma X_{t} d B_{t}+\frac{\sigma^{2}}{2} X_{t} d t \tag{10}$

这个 $X_t$ 叫做几何布朗运动（geometric Brownian motion），它具有非常重要的应用价值。

上面的公式中 $f$ 仅是 $B_t$ 的函数，如果 $f$ 还是时间 $t$ 的函数，那么就有：
$d f\left(t, B_{t}\right)=\partial_{x} f\left(t, B_{t}\right) d B_{t}+\left[\partial_{t} f\left(t, B_{t}\right)+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, B_{t}\right)\right] d t$ 这里类似于二元函数的Taylor展开：

$\large f(t+\Delta t, x+\Delta x)-f(t, x)=\\ \large \partial_{t} f(t, x) \Delta t+o(\Delta t)+\partial_{x} f(t, x) \Delta x+\frac{1}{2} \partial_{x x} f(t, x)(\Delta x)^{2}+o\left((\Delta x)^{2}\right) \tag{11}$

例：

令 $f(t, x)=e^{at+bx}$ ， $X_t=f(t,B_t)=e^{at+bB_t}$ ，从而： $\large\begin{aligned} d X_{t} & =\left[\partial_{t} f\left(t, B_{t}\right)+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, B_{t}\right)\right] d t+\partial_{x} f\left(t, B_{t}\right) d B_{t} \\ & =\left(a+\frac{b^{2}}{2}\right) X_{t} d t+b X_{t} d B_{t} \end{aligned} \tag{12}$

类似于微积分，我们引入随机分析中的记号：

$\left(d B_{t}\right)^{2}=d t, \quad\left(d B_{t}\right)(d t)=0, \quad(d t)^{2}=0$

接下来我们将伊藤公式再做推广，并得到伊藤公式的最终形式。
如果 $f$ 是 $t$ 和随机过程 $X_t$ 的函数。假设 $X_t$ 满足： $d X_{t}=R_{t} d t+A_{t} d B_{t}$ 用 $\langle X \rangle_t$ 表示 $X_t$ 的二次变差，那么： $d\langle X\rangle_{t}=A_{t}^{2} d t$ 。利用上面的记号：

$\small \begin{aligned} \left(d X_{t}\right)^{2} &=\left(R_{t} d t+A_{t} d B_{t}\right)^{2} \\ &=R_{t}^{2}(d t)^{2}+2 R_{t} A_{t}(d t)\left(d B_{t}\right)+A_{t}^{2}\left(d B_{t}\right)^{2}=A_{t}^{2} d t \end{aligned}$

于是，在(13)式的基础上， $f(t,x)$ 对 $t$ 连续可微，对 $x$ 二阶连续可微，那么：

$\begin{aligned} d f\left(t, X_{t}\right)&=\partial_{t} f\left(t, X_{t}\right) d t+\partial_{x} f\left(t, X_{t}\right) d X_{t}+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, X_{t}\right) d\langle X\rangle_{t} \\& =\left[\partial_{t} f\left(t, X_{t}\right)+R_{t} \partial_{x} f\left(t, X_{t}\right)+\frac{A_{t}^{2}}{2} \partial_{x x} f\left(t, X_{t}\right)\right] d t +A_{t} \partial_{x} f\left(t, X_{t}\right) d B_{t} \end{aligned}$

这就是伊藤公式的最终版本。

例：

令 $Y_t=t/B_t^2, T=\inf\{t: B_t=0\}$ ，对 $t<T$ ，成立：

$dY_t=\left[B_{t}^{-2}+3 t B_{t}^{-4}\right] d t-2 t B_{t}^{-3} d B_{t}$

协变差与乘积法则

假设： $d X_{t}=H_{t} d t+A_{t} d B_{t}, \quad d Y_{t}=K_{t} d t+C_{t} d B_{t}$

定义 $X_t, Y_t$ 的协变差：
$\langle X, Y\rangle_{t}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j \leq t n}\left[X\left(\frac{j}{n}\right)-X\left(\frac{j-1}{n}\right)\right]\left[Y\left(\frac{j}{n}\right)-Y\left(\frac{j-1}{n}\right)\right]$

应用之前的理论：
$\begin{aligned} \left[d X_{t}\right]\left[d Y_{t}\right] &=\left[H_{t} d t+A_{t} d B_{t}\right]\left[K_{t} d t+C_{t} d B_{t}\right] \\ &=A_{t} C_{t} d t+O\left((d t)^{2}\right)+O\left((d t)\left(d B_{t}\right)\right) \end{aligned}$

我们有：
$\langle X, Y\rangle_{t}=\int_{0}^{t} A_{s} C_{s} d s\quad ;\;d\langle X, Y\rangle_{t}=A_{t} C_{t} d t$

一般的，在微积分中， $d(fg)=(d f) g+(d g) f+(d f)(d g)$ ，因为 $d(f)d(g)$ 是二阶小量，所以在微积分可以被省略，但是随机微积分中，却必须要考虑这一项。

$d\left(X_{t} Y_{t}\right)=X_{t} d Y_{t}+Y_{t} d X_{t}+\left(d X_{t}\right)\left(d Y_{t}\right)$

于是有了乘积法则： $d\left(X_{t} Y_{t}\right)=X_{t} d Y_{t}+Y_{t} d X_{t}+d\langle X, Y\rangle_{t}$ 通过乘积法则还可以推导除法法则。

假设 $d X_{t}=m X_{t} d t+\sigma X_{t} d B_{t}$ ，那么计算可得： $\begin{aligned} d\left(B_{t} X_{t}\right) &=B_{t} d X_{t}+X_{t} d B_{t}+d\langle B, X\rangle_{t} \\ &=B_{t}\left[m X_{t} d t+\sigma X_{t} d B_{t}\right]+X_{t} d B_{t}+\sigma X_{t} d t \\ &=X_{t}\left[\left(m B_{t}+\sigma\right) d t+\left(\sigma B_{t}+1\right) d B_{t}\right] \end{aligned}$

初等函数的伊藤公式

微分：

$d X^{n}=n X^{n-1} d X+\frac{n(n-1)}{2} X^{n-2} d X^{2}$
$d e^{X}=e^{X} d X+\frac{1}{2} e^{X} d X^{2}$
$d \ln X=\frac{1}{X} d X-\frac{1}{2} \frac{1}{X^{2}} d X^{2}$
$d \cos X=-\sin X d X-\frac{1}{2} \cos X d X^{2}$
$d \sin X=\cos X d X-\frac{1}{2} \sin X d X^{2}$

积分：

$\int_{0}^{t} B_{u}^{n} d B_{u}= \frac{B_{t}^{n+1}}{n+1}-\frac{n}{2} \int_{0}^{t} B_{u}^{n-1} d B_{u}^{2}$
$\int_{0}^{t} e^{B_{v}} d B_{u}=e^{B_{t}}-1-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{B_{v}} d u$
$\int_{0}^{t} \cos B_{u} d B_{u}= \sin B_{t}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \sin B_{u} d u$
$\int_{0}^{t} \sin B_{u} d B_{u}= -\cos B_{t}+1-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \cos B_{u} d u$

四则运算：

$d(X \pm Y)=d X \pm d Y$
$d(X Y)=Y d X+X d Y+d X d Y$
$d\left(\frac{X}{Y}\right)=\frac{1}{Y} d X-\frac{X}{Y^{2}} d Y+\frac{X}{Y^{3}} d Y^{2}-\frac{1}{Y^{2}} d X d Y$

总结：本文从定义随机微积分的motivation讲起，介绍了随机微积分的定义方式、伊藤积分与一般黎曼积分的差异、伊藤公式的推导。正如学习微积分不需要懂实分析，学习随机微积分并不需要很深入的随机分析的知识，但还是必须熟记随机微积分的各类记号。