概率论中的基本概念

课程来源：《概率论与数理统计》

感觉这些在以前还有一周要考试的时候预习过，该学还是要学的...回顾一下公式和基本概念。

事件之间的关系和规律

事件之间的关系(取图请告知).png

运算规律

交换律

$A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A$

结合律

$ABC = (AB)C =A(BC)$

$A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

分配律

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

De Morgan's Laws

$\bar {A\cup B }= \bar A \cap \bar B$

$\bar {A\cap B }= \bar A \cup \bar B$

$A \cup (\bar B \cup \bar C)$ 表示A发生，B和C不发生

概率

设 $E$ 为随机试验， $\Omega$ 是它的样本空间，对事件 $A，P(A)$ 满足：

$0 \leqslant p(A) \leqslant 1$
$p(\Omega) =1$
若有互不相容的事件： $A_1,A_2,A_3…A_i, P(\bigcup A_i) = \sum {P(A_i)}$

性质：

$P(\phi) = 0$ (不可能事件的概率为0)
若 $A_1, A_2,A_3,…An$ 互不相容，则 $P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i) = \sum_{i=1}^{m} P(A_i)$
对任意事件A， $P(A) + p(\bar A) = 1$
事件 $A、 B$ ，若 $A \subset B$ ，则 $P(A) \leqslant p(B)$ ， $P(B-A)=P(B)-P(A)$
对任意事件 $A，B$ ， $P(A \cup B) =P(A)+P(B)$

古典概型

设 $E$ 是一个试验，满足：

样本空间 $\Omega$ 中只有有限多个样本点
每个样本点发生的可能性相同

排列与组合

如果要想在n个组合中，按顺序的选择k个物品，选择的方式有：

$P(n,k) = \frac {n!} {(n-k)!}$

如果要想在n个组合中选择k个物品，不规定顺序，选择的方式有：

$C(n,k) = \frac {n!}{(n-k)! *k!}$

抽签模型：

袋子里有a只黑球，b只白球，现一只只地摸出球，求第k次摸到黑球的概率？
( $1 \leqslant k \leqslant a+b$ )

古典概型(取图请告知).png

$A$ = {第k次摸到黑球}

解法一：

样本空间： $(a+b)!$ (全排列)

有利场合数： $a * (a+b-1)!$ (放置一只黑球，剩下的全排列)

$p(A) = \frac{a * (a+b-1)!}{(a+b)!} = \frac{a}{a+b}$

解法二：

样本空间： $C_{a+b}^a$ (先放置所有黑球，剩下的必然放白球)

有利场合数： $C_{a+b-1}^{a-1}$ (k格黑球，再放置剩下的)

$P(A) = \frac {C_{a+b-1}^{a-1}}{C_{a+b}^a} = \frac{a}{a+b}$