学习量子场论(QFT)让我快乐，完结撒花！
花了大半个月，和学生一起读完了A.Zee的“Quantum Field Theory: As Simply As Possible”。
同时，我自己还读了大栗博司的《强力与弱力》，
弗兰克·克洛斯的《无穷大之谜》，
Schweber 的《QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga》的部分章节，
Pais 的《Inward Bound》第一章，
以及一些场论教材的前言和 QFT 历史介绍部分（例如温伯格《量子场论》第一卷的 1.2 节）。
仅读这几本科普书，目的当然不是为了（也不可能）速通 QFT。正如 A. Zee 在书中所言：是为了点燃学习 QFT 的兴趣，并思考什么是 QFT，以及（第一遍）学习 QFT 时究竟要学什么。
更重要的是，希望对 QFT 在物理实在、理论框架与数学严谨性等方面，形成属于自己的判断。
什么是真实？这里引用 Pais 在《Inward Bound》中的一段话：
我始终铭记两条箴言：一是麦考莱所言：“若缺乏甄选之艺，纵然所述皆为真相，亦可能产生最粗劣谎言的全部效果。常见的情形是，一位作者所揭示的真相反而不及另一位，恰恰是因为他罗列了过多的真相。”
二是卡莱尔所言：“若将那本玄奥难解的自然之书视作商贾账簿般解读，此人理当被怀疑从未亲览此书真容，而仅见过某种教科书式的简略摘要；若将此摘要误作原书本身，从中所得谬误必将多于真知。”
这也是我常对学生说的：一定要有自己的思考和判断，哪怕是错误的也无妨，正所谓“尽信书则不如无书”。
学QFT要学习什么呢？
要回答这个问题，可能最好的方法是找一个QFT的范本，比如量子电动力学(QED)，把里面微妙和精妙的内容全部理解。
QED的内容和问题
1912年，作为描述电子的量子理论开端，玻尔氢原子模型问世。
1928年，狄拉克提出了结合了狭义相对论的电子量子理论。QED是描述光与电子满足相对性原理的量子理论。
简单来说，QED还是一个描述电子的量子理论，只不过这个时候与电子相互作用的电磁场也要被量子化，所以QED是同时描述电子与光子行为的理论。
QED的启示1:
从经典层面来想，物理很复杂，电子会收到来自电磁场的力的作用，但是电子运动的时候又会影响电磁场的分布。对电磁场量子化后，反而物理图像变得简单了，涉及到的物理过程变为：电子和光子的碰撞、电子发射或吸收光子、电子与正电子的产生和湮灭等。所以QED的启示是：利用量子场来描述相互作用很方便。
有了一个理论之后，接下来的问题就是对理论进行求解，就像薛定谔用薛定谔方程（或者狄拉克用狄拉克方程）求解电子在氢原子中的能级一样，我们想在这个新的理论求解电子的能级，来和实验比较。
在QED里，真空中还沸腾着许多转瞬即逝的物质粒子和反物质粒子。沃尔夫冈·泡利意识到所有这些贡献因素都必须被考虑进来。在1929年,他把这个任务交给了刚到苏黎世与他共事的一个新来的研究助理：J.罗伯特·奥本海默。奥本海默计算发现这些修正是无穷大！
而最新的实验发现：氢原子里的电子能量和狄拉克方程的预言相比确实有微小的位移，称为兰姆位移，但是不是无穷大。
另外一个实验发现，电子的磁矩也与狄拉克方程的预言有微小区别，但是利用旧的方法在QED算出来的结果也是无穷大。
作为对物理现实的描述，整个QED理论看上去开始变得荒诞可笑。泡利是一个激烈的批评者。他在写给狄拉克的信中表示,他认为QED已毫无用处。他对这个理论虚幻的承诺感到如此沮丧，以至于他甚至考虑放弃物理改行写小说。
（第一次学习QFT的时候，可以自己试着用之前学的量子力学的方法来亲自算一下这个无穷大的结果。）
QED的胜利
如果想用量子场来描述相互作用，必须解决这个无穷大的问题。
这是QED的核心，即重整化的思想。这可能是量子场论最令人困惑的地方之一（比如，我的一个本科同学学习QFT时和我说，重整化处理无穷大的方式让他完全无法接受。）。
重整化的思想
重整化的思想可以概括为：用无穷大来打败无穷大。
比如这段历史（《无穷大之谜》节选）：1948年1月，一个星期六的上午，施温格的理论在纽约召开的美国物理学会的会议上首次亮相，引起了轰动。报告厅人满为患，而且他被要求在当天下午把报告再做一次。他下午的报告再次让听众们如醉如痴，其中还包括好几位上午已经听过的听众，他们希望再听一次，以便理解更多。
他证明了电子自能的总和是发散就像1+1/2+1/3+1/4…--并且这个结果和电子的运动无关。这是他运用相对论的结果，其本身就是一个重大的新进展。
接下来，他转向电子在外部磁场运动的情况，引出了兰姆位移。这包含了他在电子自能计算里发现的同样的发散表达。通过把电子自能的发散表达式诠释为实验已知的电子质量，他最终展示了他计算兰姆位移的公式。
QED的启示2:
在把电子与电磁场的相互作用想象成电子与光子相互作用后，电子的属性，比如其质量、电荷要发生改变。改变为多少呢？需要实验的结果来校准。QED神奇的地方是，所有计算的无穷大都能通过这样的参数重新定义来自洽的消除。
为什么几乎无处不在无穷大可以通过几个参数的重新定义就可以完全消除呢？
沃德恒等式
1949年，约翰·沃德加入了战局。在篇幅短小却影响巨大的一篇论文中，沃德宣布了一个发现：QED里无穷大发散的许多复杂表达式之间并不是相互独立的，而是通过一些恒等式关联起来。
这个发现自此之后被称为“沃德恒等式”。
如果没有沃德恒等式，消除一个无穷大的任何努力都会导致另一个无穷大在方程式的其他地方出现；沃德恒等式是整个重整化大厦的基础。
QED的启示3:
沃德恒等式的来源是规范不变性。如果想构造一个可重整化的量子场论，利用规范场是一个很好的选择。
QED 遗留的问题？
Dyson 关于微扰求和渐进性的论证
利用重整化虽然可以解决每一个阶微扰计算结果无穷大的问题，但是原则上来说，应该对所有微扰的结果求和得到最后完整的计算结果。但是Dyson论证，这个求和也是个无穷大。这说明微扰的方法有一定的局限性。
QED的启示4:
在QFT里，完整的物理描述需要超越微扰框架，将渐近级数与非微扰结构统一起来。
