1.4 - 简书

1.4

Expenditure Minimization Problem

支出最小化问题(EMP)：

$\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定义：

Hicksian需求函数 $h:\mathbb R_+^K\times \mathbb R_+\rightarrow\mathbb R_+^K$ 定义为：

$h(p,u)=\arg\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定义：

最小支出函数定义为：

$e(p,u)=\min_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

定理：

假定效用函数 $u$ 代表了连续、局部非餍足的偏好关系 $\succeq$ ，则

① $\forall p\gg0,w>0$ ，有 $x(p,w)=h(p,v(p,w)),e(p,v(p,w))=w$

② $\forall p\gg0,u\geq u_0$ ，有 $h(p,u)=x(p,e(p,u)),v(p,e(p,u))=u$

定理：

支出最小化问题(EMP)和Hicksian需求函数

①存在性

若 $p\gg0$ ， $u$ 连续且存在 $x:u(x)\geq x$ ，则支出最小化问题解存在

②齐次性

Hicksian需求函数对价格为0阶齐次函数，即 $\forall \lambda\geq0,h(\lambda p,u)=h(p,u)$

③无过剩效用

若 $p\gg0$ ，则 $u(x)=u,\forall x\in h(p,u)$

④唯一性

若 $u$ 是拟凸的，则 $h(p,u)$ 是凸集

若 $u$ 是严格拟凸的，则 $h(p,u)$ 是单点集

$e(p,u)$ 有如下性质：

①对价格为1阶齐次性，即 $\forall \lambda\geq0,e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u)$

②对财富 $w$ 严格递增，对商品价格非减

③对价格有凹性

④对价格和效用连续

定理：

①Shephard引理

假定 $e(p,u)$ 连续可微且 $h(p,u)$ 为单点集，则 $\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k}=h_k(p,u),\forall k$

②需求补偿法则

假定连续效用函数 $u$ 代表一个局部非餍足的偏好关系 $\succeq$ ，且 $h(p,u)$ 为单点集，则

$(p^\prime-p)(h(p^\prime,u)-h(p,u))\leq0,\forall p,p^\prime\geq0$

Hicksian Decomposition and Slutsky Equation

由定义，对比Hicksian和Marshallian需求函数：

$h(p,u)=\arg\max_{x\in\mathbb R_+^K}px\qquad s.t.\quad u(x)\geq u$

$x(p,w)=\arg\max_{x\in\mathbb R_+^K}u(x)\qquad s.t.\quad px\leq w$

定义：

当价格 $p\rightarrow p^\prime$ ，则为保持效用不变的支出补偿量 $e(p^\prime,u)-e(p,u)$ 称为Hicksian财富补偿

定理：

若 $h(p,u),x(p,w)$ 均为连续可微函数且 $u=v(p,w)$ ，则：

$\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w),\forall j,k$

有矩阵形式：

$D_ph(p,u)=D_px(p,w)+D_wx(p,w)x(p,w)^T$

Proof：

注意到 $h(p,u)=x(p,w)=x(p,e(p,u))$

得 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k},\forall j,k$

且 $\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_k}=h_k(p,u)=x_k(p,w)$

重新组织，得：

$\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}-\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w )$

①总效应(Total Effect, TE)

②替代效应(Substitution Effect, SE)：固定效用不变，只改变价格

③收入效应(Income Effect, IE)：固定价格不变，只改变收入

定义：

Slutsky矩阵： $D_ph(p,u)=(\frac{\partial h_i(p,u )}{\partial p_j}) _{n\times n}$ 对称且半负定

其中 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}+\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w),\forall j,k$

Proof：

注意到 $\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}=\frac{\partial^2e(p,u)}{\partial p_j\partial p_k}=\frac{\partial^2e(p,u)}{\partial p_k\partial p_j}=\frac{\partial h_k(p,u)}{\partial p_j}$

回忆 $\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}-\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial w}x_k(p,w )$

定义：

①正常品（normal good）： $x_j(p,w)$ 随着 $w$ 递增

劣质品（inferior good）： $x_j(p,w)$ 随着 $w$ 递减

②常规品（regular good）： $x_j(p,w)$ 随着 $p_j$ 递减

吉芬品（Giffen good）： $x_j(p,w)$ 随着 $p_j$ 递增

定理：

正常品一定是常规品，吉芬品一定是劣质品

定义：

①净替代： $h_j(p,u)$ 随着 $p_k$ 递增

净互补： $h_j(p,u)$ 随着 $p_k$ 递减

②毛替代： $x_j(p,w)$ 随着 $p_k$ 递增

毛互补： $x_j(p,w)$ 随着 $p_k$ 递减