Expenditure Minimization Problem

        支出最小化问题(EMP)：

定义：

        Hicksian需求函数定义为：

定义：

        最小支出函数定义为：

定理：

        假定效用函数代表了连续、局部非餍足的偏好关系，则

    ①，有

    ②，有

定理：

        支出最小化问题(EMP)和Hicksian需求函数

    ①存在性

        若，连续且存在，则支出最小化问题解存在

    ②齐次性

        Hicksian需求函数对价格为0阶齐次函数，即

    ③无过剩效用

        若，则

    ④唯一性

        若是拟凸的，则是凸集

        若是严格拟凸的，则是单点集

        有如下性质：

    ①对价格为1阶齐次性，即

    ②对财富严格递增，对商品价格非减

    ③对价格有凹性

    ④对价格和效用连续

定理：

    ①Shephard引理

        假定连续可微且为单点集，则

    ②需求补偿法则

        假定连续效用函数代表一个局部非餍足的偏好关系，且为单点集，则

Hicksian Decomposition and Slutsky Equation

        由定义，对比Hicksian和Marshallian需求函数：

定义：

        当价格，则为保持效用不变的支出补偿量称为Hicksian财富补偿 

定理：

        若均为连续可微函数且，则：

        有矩阵形式：

Proof：

        注意到

        得

        且

        重新组织，得：

    ①总效应(Total Effect, TE)

    ②替代效应(Substitution Effect, SE)：固定效用不变，只改变价格

    ③收入效应(Income Effect, IE)：固定价格不变，只改变收入

定义：

        Slutsky矩阵：对称且半负定

        其中

Proof：

        注意到

        回忆

定义：

    ①正常品（normal good）：随着递增

        劣质品（inferior good）：随着递减

    ②常规品（regular good）：随着递减

        吉芬品（Giffen good）：随着递增

定理：

        正常品一定是常规品，吉芬品一定是劣质品

定义：

    ①净替代：随着递增

        净互补：随着递减

    ②毛替代：随着递增

        毛互补：随着递减