昆仑班级的新同学们：
你们好。
上一篇文章发布以后，有不少人跟我说，文章太长了，让我分成几篇。可能是老师没有说清楚，我之所以写在一起，是为了思维上的连贯性，并没有要求你们一次性看完，你们一次看一小节就可以。当然，你们如果有兴趣一次性读完，那我会非常欣慰。
这篇文章的主要内容可以分成3小节：
1、“数”的类型梳理（含“分数”与“整数”）；
2、“分数”与“小数”的关系；
3、部分作业反馈
好了，话不多说，我们直接开始第一小节。
“数”的梳理
在第一篇文章中，我们已经知道了，因为实际的需要，我们人类创造出了各种各样的“数”——自然数、整数、分数、小数、负数、正数，以及特殊的0。东西多了就容易乱，乱了就容易出问题，所以，我们很有必要对这些数进行严谨的分类。
举一个非常恰当的例子吧。我们自己的房间，一般都会有各种各种的东西，有衣服、鞋子、玩具、文具……，衣服又有很多分类：上衣、裤子、夏天衣服、冬季衣服……。这么多东西，如果不整理清楚，房间就会显得很乱，房间乱的话，我们找东西就会很不方便。你可能会说乱一点没事，但那样的话，妈妈肯定会第一个不同意吧，哈哈。
想一想，你们在整理房间的时候，第一件事是不是归类？“数”的分类也是一样的。我们可以清楚地知道房间里的东西属于哪类，比如鞋子就是鞋子，你绝对不会把它归入到衣服一类，那所有的数字你都清楚属于哪一类型吗？所以，我们现在梳理一下——
一、自然数
自然数是可以计量事物的件数或表示事物次序的数。我们分开来看，“计量事物的件数”就是“计数”的意思，回想我们上一篇文章中说的，创造自然数的最初目的就是为了“数数”。对于“表示事物的次序”这个意义，我们会在下一篇文章中讨论。
上面是用我们的文字语言解释自然数，不知道你有没有觉得繁琐，那用数字符号语言怎么表示呢？——用符号0、1、2、3、4……表示的数就是自然数。怎么样，有没有很简洁？你喜欢哪种方式呢？
实际上，用抽象的数字符号语言表示，同时用熟悉的文字语言解释，也就是将二者联系起来，对与理解数学，学好数学是非常有必要的。一方面，光用数学符号语言表示，人们会很难理解这到底在说什么，会觉得与我们的实际生活很割裂；另一方面，光用文字语言解释，会显得很繁琐，不够简洁、直观。所以，在今后的学习中，一定要重视数字符号语言的表示以及文字语言的表述。还有一个图形语言，我们在下一篇文章中会说到。总之，合理的运用三种语言（文字语言、数学符号语言、图形语言），对于我们学好数学非常有必要，现在体会不深不要紧，我们慢慢来。
有了上面的分析，我们能够得到结论：自然数一定都是整数，也就是完整的事物数量；同时，自然数一定不是负数，想象一下，有2个苹果，1个苹果，0个苹果，总不能有-1个苹果吧？你可能会说，-1个苹果就是欠一个苹果。如果这样，那就是在表示数量的基础上，额外增加了“欠”的实际含义，犯规了。所以，自然数都是整数，一定不是负数。那能说，自然数是正数吗？sorry，因为“0”这个特殊分子，我们不能说自然数是正数，只能说自然数是非负数。
二、整数
没有特别清楚的定义，我们只能说，像-3、-2、-1、0、1、2、3、10等这样的数就是整数。有时候，文字语言的解释就是那么的苍白无力……老师相信你们都能够分辨出哪些数是整数，哪些数不是整数，如果你有兴趣，开学后欢迎与我讨论用其他的方式去解释。
关于整数，需要强调以下2点：
1、“0”也是整数，只不过比较特殊；
2、“-1”既是负数，也是整数，很多时候我们会合起来，叫做“负整数”，同理，对于我们非常熟悉的“2”，你也可以叫做“正整数”——正数与负数总是相对出现的
三、分数
最开始学分数的时候，老师都是讲把“1”平均分成几份，比如平均分成4份，其中的一份就是
，其实还可以说成其中的一份占整体的
。这两种表达方式都对，分别对应分数的两个不同的含义：“平均分”、“部分与整体的关系”，其中“部分与整体关系”再引申就是你们六年级才学的“比”的含义。这个我们大概会在第四篇文章——数的四则运算中详细讨论。这里就先打住。
因为一开始是拿数字1来举例，所以很多学生最初认为分数比0大，但是比1小。再到后来，我们又认识了假分数，为了形式上的统一，我们人类就规定用类似这种形式表示的数，就是分数。
上一篇文章中，我们曾提到，，也就是说，任何一个整数都可以表示成
的形式，那整数与分数的这种关系怎么说呢？它们之间的界限又该如何界定呢？同学们，关于这个问题，你们是怎么考虑的呢？
给你们两个选项：
1、认可整数与分数的关系——整数是一种特殊的分数。举个有点不恰当的例子，这就有点像两个非常熟悉的人，有一天突然发现竟然是失散多年的亲人，不禁感慨，原来还存在这样一层关系；
2、不认可整数与分数的关系，emmmm……然后……怎么办呢？想个什么办法区分一下咯？
如果是在教室，我会让大家各抒己见，然后发起一轮投票，只不过现在条件不允许，我就直接说了。在说之前，我先问一个问题，同学们，你们现在明白这个问题的焦点（也就是我们讨论的核心点）是什么吗？焦点就是——我们已经深刻理解了“整数”与“分数”的由来及意义，只不过在梳理时，发现二者存在一层微妙的关系，因为这层“微妙的关系”，让“整数”与“分数”的关系有些小尴尬。
还记得“0是不是自然数”这个问题吗？这两个问题非常的类似，都是在深刻理解的基础上，如何明确规定的问题。这种情况，简单说，就看人类怎么规定了。那人类怎么规定呢？我们人类选择了第2个选项——不认可整数与分数的这层关系，想办法区分开来。
怎么区分呢？我们规定，分数就是可以化简成（a、b互质且a≠1）的数，简单说就是，如果
能够化简成整数，那它就不是分数。看到了吧，增加一个条件，就把这个问题解决了。
那我们人类这样的规定合理吗？我认为是合理的，原因就是第一篇文章——《数的诞生》中提到的：我们人类创造整数（更准确说应该是自然数），是用来表示完整的事物的数量；创造分数与小数，是用来表示不完整的物体的数量。如果将整数看作一种特殊的分数，那就背离了我们人类创造的初衷。
关于整数与分数的关系，这下明白了吗？关于分数，老师再强调一点：既是负数，也是分数，合起来就是负分数。
我们总说，数学是一门严谨的学科，可以锻炼我们严谨的逻辑思维，在这个小小的问题中，你们能感受到一丢丢吗？
同学们，在今后的数学学习中，一定要重视基本概念的理解，基本概念就像是一幢大厦的地基，基础不牢，地动山摇。只有深刻理解了基本概念，才能真正说明我们“学会了”，而不是仅仅“记住了”。理解了基本概念，再加上适当的练习，取得优异的成绩将会非常简单。
四、小数
分辨哪些数是小数，这个问题就比较简单了。老师直接强调一下即可：
1、小数不是比1小的数，而是含小数部分的数，比如1.23比1大，也是小数；
2、-3.26是负数，也是小数；
3、小数还可以继续分类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数
五、负数、正数
上一篇文章已经说得非常清楚了，负数与正数可以表示一对意义相反的数。负数与正数意义相反，成对出现，正数有的，负数也一定存在，比如正数里存在整数（2），分数（），小数（3.98），那负数一定有整数（-2），分数（
），小数（-3.98）。再简单一点，正、负数其实就是在原先各类型的数的基础上增加了“相反意义”，且用符号“+”“-”表示。
需要注意的是，我们不能说负数包括整数，因为2也是整数，但不是负数，也就是说，负数里只有部分整数——负整数。同样地，我们也不能说负数包括分数、小数，只能说负数里有部分分数（负分数），部分小数（负小数）。剩下的部分自然属于正数了，当然还有那个特殊的0需要注意。
六、0
这个数字比较特殊，前面已经讨论足够多了，下面直接总结：
1、0既不是正数，也不是负数；
2、0是自然数，也是整数。
梳理完这几种类型的数后，我们会发现，它们之间的关系并不是简单的包含与被包含关系，大部分都存在交叉现像。那我们“数”的房间该如何整理呢？你们可以先思考，等开学以后，我们会正式学习，现在我就不剧透了，一定要自己思考哦。
“分数”与“小数”的关系
梳理完了各类型的数，我们重点讨论一下“分数”与“小数”的关系，举个简单的例子，同样是一半，既可以用小数0.5表示，也可以用分数表示，那就说明分数与小数肯定存在很紧密的关系。
一、分数转换成小数
先来看分数的第一个含义：平均分。说到平均分，我们会与除法联系起来，实际上，平均分也是除法运算的一个含义。比如，有20个苹果，要平均分给5个人，每一个人能分到多少个苹果呢？我们会列一个算式——20÷5=4，结果表示每一个人可以平均分到4个苹果。如果又来了一个人，变成了6个人，那该怎么分呢？可以肯定，每个人不可能得到整数个苹果，那怎么表示呢？我们人类就是因为这个问题，创造了分数，也就是每人平均得到个苹果，用算式表示就是——20÷6=
。看见了吧，分数的创造其实非常的巧妙，处处体现出与除法运算的关系。
因为分数与除法的关系，任意给一个分数，我们都能转化成除法，从而用小数表示其结果。比如，=23÷5=4.6。这说明，任意一个分数，我们都能通过除法运算，转化成小数。想一想，是不是这个样子呢？
顺着这个思路，我们来看一看分数转化成的小数都有哪些特点吧？
对于有限小数，无限循环小数，相信你们应该已经非常熟悉了。我们现在要继续讨论的问题是：一定只有这两种结果吗？还有没有第三种可能？如果没有，那能解释一下为什么吗？
数学是一门严谨的学科，学习数学，我们不能只满足于知道“是什么”，而要多追问一句“为什么”。只有这样，我们才能真正理解数学，掌握数学，学到数学这门学科的精髓，这将是受用一生的重要能力。
答案是，只有这两种情况，老师现在解释原因。
简单说，将分数转化成除法，结果应该只有两种：能除尽，不能除尽，对此应该不会有太大的疑问吧？能除尽，肯定就是有限小数了；不能除尽，那就是无限小数了。现在的问题就变成：如果不能除尽，结果一定是无限循环吗？有没有可能无限不循环呢？
一步一步分析问题，问题就会越来越清晰，也会更加容易解决。老师提醒一句，重要的不是结果，而是思考的过程，所以老师才会写的这么详细。
下面，老师以5÷7为例，解释一下原因，请对照上图一起看。说到除法竖式，我们都知道：
1、每一步都会有余数，如果余数为0，就说明已经除尽了，如果余数不为0，就说明还没有除尽，需要继续除下去；
2、余数都比除数小，不然怎么能说是“余下来的数”呢？
3、以老师所举的算式为例，除数是“7”，不考虑除尽，那余数就只可能是“1”“2”“3”“4”“5”“6”这里面的几个或者全部；
4、对照图片我们能看到，第一步的余数是“1”，第二步的余数是“3”，一直到第六步，都没有出现重复。余数依次是：1、3、2、6、4、5，看一看，是不是都比“除数7”小呢？
5、第七步的余数是“1”，与第一步的余数重复了，第八步的余数是“3”，与第二步的余数重复。我们可以大胆猜测，第九步的余数是“2”，必然与第三步的余数重复。为什么呢？因为每一步的余数，都成了下一步的被除数，被除数一样，除数也是一样，那结果肯定会一样咯。
6、以此类推，后面的余数肯定会重复出现，那对应的得数肯定也会重复出现，于是乎，结果就成无限循环小数了。
现在你能明白了吗？如果不明白，那我们再举一个例子——13÷11。在这个算式中，除数是“11”，如果除不尽，那余数一定是“1”到“10”这里面的几个或者全部。假如余数一直不重复，那最多计算到第10步，所有的情况就都出现过了，此时再继续除一步，就肯定会出现重复。你们还可以自己举例试一试。
所以，用整数表示分子分母的分数而言，分子相当于被除数，分母相当于除数，如果除不尽，那么最多除“分母数”的次数，余数就一定会出现重复，结果也就会重复出现。
同学们，如果不明白也不要紧，你可以单独与老师沟通，我们也可以等开学以后面对面交流。
好了，经过上述讨论，我们终于可以理直气壮，信心满满地得出结论了，那就是——分数通过除法运算一定可以转化成小数，且只有两种可能，有限小数（能除尽）和无限循环小数（不能除尽），不可能出现无限不循环小数。
二、小数转换成分数
我刚刚讲了分数怎么转化成小数，反过来小数怎么转化成分数，你们有思路吗？可以先想一想。我先抛出来一个问题：分数只有一种形式——，顶多就是对a与b添加一个条件。对比之下，小数就没有那么简单了，首先小数可以分为有限小数和无限小数，无限小数又能分为无限不循环小数。这么多种类，怎么下手呢？
答案就是：分类讨论。分类讨论思想，是数学中非常重要的一种思想，常用来分析情况比较多，形式比较多样的问题。下面我们分开来看：
1、有限小数与分数
同分数转化成小数类似，小数可以转化成除法的形式，比如1.5=15÷10，12.362=12362÷1000，进而可以写成分数的形式，如果需要就进行化简。这说明，有限小数一定可以转化成分数的形式。
2、无限循环小数与分数
接下来就是比较严格的证明，也是我们数学中非常重要的能力，我们举几个简单的例子，如果觉得看不懂，我们可以后面继续讨论。
有没有觉得很神奇，明明是一个无限小数，扩大10倍然后相减，最后变成了整数！那是不是所有的无限小数都可以用这种方法呢？
答案是，yes。但如果你理解成，都扩大10倍再减，就不对了，我们再看一个例子——1.171717……
能想明白为什么这次要扩大100倍吗？这样做的目的是为了保证小数部分相同，这样相减以后，循环小数部分就没有了。所以，对于任意一个无限循环小数，我们需要根据循环节来确定扩大多少倍，如果循环节只有1位，那我们就扩大10倍，如果循环节有3位，我们就要扩大1000倍了。只有这样，我们才能保证把小数部分减掉。
3、无限不循环小数与分数
对不起，这次老师我没辙了。想一想，无限不循环小数，无限意味着有无穷多个数，不循环又意味着没有任何规律。无穷多个数，还没有规律，我都无法准确地表达出来。就像犹抱琵琶半遮面一样，我连这个数到底“长”什么样子都不知道，那还怎么研究呢？
不光是老师我没辙，时至今日，人类对这类数都没有太好的办法。但是，到了初二你们就会发现，这类我们人类没辙的数，有一天会以另外一种方式，突然出现在我们面前，一出场就自带音响，打了人类一个措手不及，直接引发了数学史上的第一次数学危机，甚至有人为此付出了宝贵的生命。
具体内容，我们到时候会好好讲，现在我们可以得出这样的结论——有限小数和无限循环小数可以转化成分数，无限不循环小数无法转化成小数。
那是不是说，暂时就先不管无限不循环小数了呢？老实讲，尽管再不情愿，现在确实没办法去研究。等到了初二，我们再来用另一种方法，研究部分特殊的无限不循环小数吧。
部分作业反馈
在写这边文章的时候，老师特别留意了你们的作业，如果你仔细阅读这篇文章就会发现，很多问题老师已经在文章里反馈了。
一、其他“数”
有不少同学在“算术部分1”第一题中提到，小学学过的“数”还有——奇数、偶数，质数（又称素数）、合数，因数、倍数等等。实际上，这些数与我们前面讨论的自然数、整数、小数、分数、正数、负数、0等，还有一些区别，老师在这里简单解释一下：
1、回想这两篇文章中提到的“数”的诞生过程，无一不是人类根据实际情况的需要，特意创造、发明出来的。但“奇数、偶数……”这些数却不是；
2、那这些数是用来干什么的呢？是用来研究“整数”的性质的，也就是说“奇数、偶数……”这些数，统统都是整数；
3、什么是整数的“性质”呢？性质，简单说就是一类事物的特点，人类创造了“整数”以后，发现整数中的有些数很有特点，就专门去研究。也就是，这些“数”都是已经诞生的，人们因为研究而专门分类命名。
4、举一个比较合适的例子，你们就会更加明白——
二、非常棒的新问题！
在你们的作业中，老师发现悦扬同学提出了这样一个非常有趣的新问题，与我们这篇文章讨论的内容有联系，老师就特别说一下。她发现，
，而
，一会是
，一会又变成1，好奇怪。
这个问题不知道悦扬同学后面想清楚了没有，老师借机简单解释一下，对于一个结论来说，如果它的计算过程或者推导证明过程，一没有错误，二没有漏洞，那么我们就应该坚定的相信它！什么意思呢？就是说，
我估计你们肯定会很惊讶，一个是无限循环小数，一个是整数，二者怎么会相等呢？实际上，这个问题在之前困扰了数学家很久，数学史上的第二次数学危机的出现，就与这个内容有很大的联系——极限问题。正是为了解决此次数学危机，人类建立了完整的高等数学理论基础。
无论如何，善于发现问题永远都是非常棒的行为，在数学中非常重要，有些问题我们目前可能还解决不了，可那又如何呢？有时候，发现问题就等于发现了希望。给我们的悦扬同学点赞！
