高等数学：导数与微分题选(2)

1.从 ${dx\over dy}={1\over y'}$ 导出：

$(1){d^2x\over dy^2}=-{y''\over (y')^3}\qquad (2){d^3\over dy^3}={3(y'')^2-y'y'''\over (y')^5}$

解：

$(1){d^2x\over dy^2}={d({1\over y'})\over dy}$

$={d({1\over y'})\over dx}/{dy\over dx}$

$=-{y''/(y')^2}/y'=-{y''\over (y')^3}$

$(2){d^3\over dy^3}={d(-{y''\over (y')^3})\over dx}/{dy\over dx}$

$=-{y'''(y')^3-3(y')^2(y'')^2\over (y')^6}/y'$

$={3(y'')^2-y'''y'\over (y')^5}$

2.密度大的陨星进入大气层时,当它离地心为 $s\;km$ 时的速度与 $\sqrt{s}$ 成反比,证明陨星的加速度与 $s^2$ 成反比

证：

$设v={ds\over dt}={k\over \sqrt{s}}(k为比例系数)$

$则a={d^2s\over dt^2}$

$={d\over ds}({k\over \sqrt{s}}){ds\over dt}$

$=-{1\over 2}{k\over s^{3\over 2}}{k\over \sqrt{s}}=-{k^2\over 2s^2}$

3.设质点沿x轴运动的速度为${dx\over dt}=f(x),求质点运动的加速度

解：

$a={d^2x\over dt^2}={d\over dx}(f(x)){dx\over dt}=f'(x)f(x)$

4. $y=e^xcosx,求y^{(4)}$

解：

$由Leibniz公式可得$

$y^{(4)}=C_4^0cosxe^x+C_4^1(cosx)'e^x+C_4^2(cosx)''e^x+C_4^3(cosx)'''e^x+C_4^4(cosx)^{(4)}e^x$

$=e^xcosx-4e^xsinx-6e^xcosx+4e^xsinx+e^xcosx$

$=-4e^xcosx$

5. $y=x^2sin2x,求y^{(50)}$

解：

$由Leibniz公式可得$

$y^{(50)}=C_50^0(sin2x)^{(50)}x^2+C_50^1(sin2x)^{(49)}(x^2)'+C_50^2(sin2x)^{(48)}(x^2)''+0+\cdots+0$

$=2^{50}x^2sin(2x+50{\pi\over 2})+50\cdot 2^{49}\cdot 2xsin(2x+49{\pi\over 2})+{50\times 49\over 2}\cdot2^{48}\cdot 2sin(2x+48{\pi\over 2})$

$=-2^{50}x^2sin2x+50\cdot 2^{50}xcos2x+1225\cdot 2^{49}sin2x$

6. $y=sin^2x,求y^{(n)}$

解：

$y'=(sin^2x)'=2sinxcosx=sin2x$

$y''=(sin2x)'=2cos2x$

$y'''=(2cos2x)'=-4sin2x$

$\cdots$

$y^{(n)}=2^{n-1}sin[2x+(n-1){\pi\over 2}]$

7. $y=xlnx,求y^{(n)}$

解：

$由Leibniz公式可得$

$y^{(n)}=C_n^0x(lnx)^{(n)}+C_n^1(x)'(lnx)^{(n-1)}+0+\cdots+0$

$=x(lnx)^{(n)}+n(lnx)^{(n-1)}$

$又(lnx)^{(n)}=(-1)^{n-1}{(n-1)!\over x^n}$

$\therefore y^{(n)}=x(-1)^{n-1}{(n-1)!\over x^n}+n(-1)^{n-2}{(n-2)!\over x^{n-1}}$

$=(-1)^{n-1}{(n-1)!\over x^{n-1}}+(-1)^{n-2}{(n-2)!\cdot n\over x^{n-1}}$

$=(-1)^n{(n-2)!\over x^{n-1}}(n\ge 2)$

$\therefore y^{(n)}=\begin{cases}lnx+1\qquad n=1\\ (-1)^n{(n-2)!\over x^{n-1}}\qquad n\ge 2\end{cases}$

8. $y=xe^x,求y^{(n)}$

解：

$由Leibniz公式可得$

$y^{(n)}=C_n^0x(e^x)^{(n)}+C_n^1x'(e^x)^{(n-1)}+0+\cdots+0$

$=xe^x+ne^x=e^x(x+n)$

9.求函数 $f(x)=x^2ln(1+x)$ 在x=0处的n阶导数 $f^{(n)}(0)(n\ge 3)$

解：

$设u=ln(1+x),v=x^2,则$

$u^{(n)}=(-1)^{n-1}{(n-1)!\over (1+x)^n}(n=1,2,\cdots)$

$v'=2x,v''=2,v^{(k)}=0(k\ge 3)$

$\therefore 由Leibniz公式可得$

$y^{(n)}=(-1)^{n-1}{(n-1)!\over (1+x)^n}x^2+n(-1)^{n-2}{(n-2)!\over (1+x)^{n-1}}2x$

$+{n(n-1)\over 2}(-1)^{n-3}{(n-3)!\over (1+x)^{n-2}}2(n\ge 3)$

$f^{n}(0)={(-1)^{n-3}n!\over n-2}(n\ge 3)$

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