微观经济学第五周作业（边际效用，无差异曲线）

3.

经济学		英语		数学
复习时间（天）	成绩	复习时间（天）	成绩	复习时间（天）	成绩
0	20	0	40	0	80
1	45	1	52	1	90
2	65	2	62	2	95
3	75	3	71	3	97
4	83	4	78	4	98
5	90	5	83	5	99
6	92	6	86	6	99

我们可以把分数看做效用，每增加一天复习时间，边际效用的增量就可以得出来

设三门科目的复习天数分别是x,y,z

则有 $U=U(x,y,z),约束条件x+y+z=6$ 成立

构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda)=U(x,y,z)+\lambda(6-x-y-z)$

对 $x,y,z,\lambda$ 四个变量分别求偏导数并令偏导数值等于0，得到
$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial x}-\lambda=0$

$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial y}-\lambda=0$

$\frac{\partial L}{\partial z}=\frac{\partial U}{\partial z}-\lambda=0$

$所以\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial z}=\lambda$

此时x,y,z的边际效用都相等，总效用达到最大
对照每种科目的边际效用，实际上是不连续的点函数

（第n天的边际效用）	1	2	3	4	5	6
经济学（ $\frac{\partial U}{\partial x}$ )	25	20	10	8	7	2
英语（ $\frac{\partial U}{\partial y}$ )	12	10	9	7	5	3
数学（ $\frac{\partial U}{\partial z}$ )	10	5	2	1	1	0

恰好当 $\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial z}=\lambda=10$ 时，总效用（也就是总成绩)可以达到最大值，此时经济学复习三天，英语复习两天，数学复习一天，恰好满足 $x+y+z=6$ 的限制条件，所以最大效用（最高成绩）是75+62+90=227分。