3.1 量子力学中的数学形式 Mathematical formalism in QM

https://www.youtube.com/watch?v=CpOofKV5WR0&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=35

前言

量子力学的数学形式就是无限维度的向量空间的线性代数，如果你对这个不熟悉，别怕，本课将带你一步一步深入了解量子力学的背后含义，而不是简单的表达出波函数。

1. 通常的形式

量子力学描述的是任何物体的状态，描述的方法为波函数 $\psi(x,t)$ ，这里波函数可以很多种可能的形式，比如写成高斯函数，或者写成指数形式等等。一种写法是我们之前讨论过的，即基函数的线性叠加 $\sum_n a_n \psi_n (x,t)$ ，这里的波函数就是在（有限or无限）势阱，谐振子势垒状态下求得的波函数。对于自由粒子，由于波函数的无限延伸，所以需要用积分的形式 $\int dk \phi(k) \frac{e^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}}{\sqrt{2\pi}}$ 。最后一种就是我们将要学习的算符表示法: $\psi_n =( \hat a_+ \psi_{n-1})/\sqrt2$ 。
$State \rightarrow \psi(x,t) = \begin{cases} ...\\ \sum_n a_n \psi_n (x,t)\\ \int dk \phi(k) \frac{e^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}}{\sqrt{2\pi}}\\ \psi_n =( \hat a_+ \psi_{n-1})/\sqrt2\\ \end{cases}$
接下来我们就讲讲，为啥最后一种好

2. 希尔伯特空间

希尔伯特空间的本质就是无限维度空间！！
在希尔伯特空间的向量用 $| \alpha \rangle$ 表示，它比波函数更加有用，在某些情况下，即使我们不知道波函数，通过 $| \alpha \rangle$ 仍然可以得到非常有用的结论！
通过内积 $\langle \beta | \alpha \rangle \ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\beta}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx$ 可以把波函数用非常简单的形式表示。
归一化的表示方法
$\langle \alpha | \alpha \rangle =1 \ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\alpha}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx = 1$
正交化的表示方法
$\langle \beta | \alpha \rangle =0\ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\beta}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx=0$
正交空间可以用delta函数表示：
$\{|\psi_n \rangle \} 空间 \ \ \ 表示为\rightarrow \ \ \ \ \langle \psi_n | \psi_m \rangle = \delta_{nm}$
完备空间
$\{|\psi_n \rangle \} \ \ \ 表示为\rightarrow \ \ \ |\psi_n \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n |\psi_n \rangle \ \ \ 傅立叶变换表示\rightarrow \ \ \ \ a_n = \langle \psi_n | \psi_m \rangle$

3. 可观测量的希尔伯特表示

实数Q的期望如何用希尔伯特空间形式来表示呢？
$\langle Q \rangle = \langle \psi | \hat Q \psi \rangle$
$\langle Q \rangle^* = \langle \psi | \hat Q \psi \rangle^* = \langle \hat Q \psi | \psi \rangle = \langle Q \rangle (因为是实数）$
注意哈：这里 $\langle \psi | \hat Q \psi \rangle = \langle \hat Q \psi | \psi \rangle$ 形式是不是有些似曾相识？
对，这就是厄米矩阵，所以Q算符必须是厄米矩阵
举例：向量 $\hat p$ 是否是厄米矩阵
$\langle f | \hat p g\rangle =? \ \ \langle \hat p f | g \rangle$
可以用下式表示：
$\int f^*(x) \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} g(x) \right) dx$
求解上述积分
$= -i\hbar \left( f^*(x) g(x) |^{\infty}_{-\infty} - \int^{\infty}_{-\infty} \frac{\partial f^*}{\partial x} g dx \right)$
$=\int i\hbar \frac{\partial f^*}{\partial x} g dx$
$=\int (i\hbar \frac{\partial f}{\partial x})^* g dx$
$= \langle \hat p f | g \rangle$
测的准定律
Q的方差用希尔伯特空间形式表示：
$\sigma_Q^2 = \langle (\hat Q - \langle Q \rangle )^2 \rangle \\ = \langle \psi | ( \hat Q - \langle Q \rangle)^2 \psi \rangle\\ = \langle \psi \underbrace{( \hat Q - \langle Q \rangle)}_{减去实数还是厄米矩阵} | ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle \\ = \langle ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi | ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle$
假设上述方程等于0，即方差为零，首先如果 $\psi=0$ 那方程就没意思了，大家全是零。那么如果 $\psi \neq 0$
那么只有
$( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle =0 \Rightarrow \hat Q |\psi \rangle = \langle Q \rangle | \psi \rangle$
注意了，这就回到了本征方程，或者经典薛定谔方程的问题了，即
$\hat H | \psi \rangle = E | \psi \rangle$
也就是说满足上述等式的算符，对应的特征值是唯一的！方差为零！不受测不准定理的限制！