矩阵
定义
矩阵是由一个组成的矩形数据表格，其中第
行、第
列的元素用
表示：
矩阵相当于是一个军队的阵列，其中的每个元素相当于是队伍中的士兵。作为整体，我们一般考虑整个队伍的变化，很少单独处理某个士兵的情况。
矩阵相当是一组变换的函数，如果没有矩阵，函数表达起来特别复杂冗长。所以你可以认为矩阵是一种简化的函数表示法。
矩阵的加法运算。
两个行数和列数相同的矩阵才能进行加减运算，将两个矩阵中相同位置的元素分别作加减运算，结果仍然填充在同样的位置，新生成的矩阵与原来的矩阵具有相同的维度，即相同的行数和列数：
,
比如
矩阵内的元素可以是实数，也可以是复数，甚至是函数的表达式。
矩阵的数乘运算
如果用一个数乘以矩阵cA = B，相当于是用这个数乘以矩阵中的每一个元素，得到的结果保持在相同的位置，比如
矩阵与矩阵相乘
矩阵A乘以矩阵B得到矩阵C，即C = AB，要求A的列数必须和B的行数相同才行，如果不同，则不能进行计算了，或者我们现在还没定义这种情。但对A的函数和B的列数没有类似要求，得到的矩阵C的行数为A的行数，C的列数为B的列数。——大家都取一个维度，也算是公平了吧。矩阵C内的元素
即矩阵C的第行、第
列的元素
为矩阵A的第
行元素与矩阵B的第
列元素依次相乘后加和起来的值。
当然从结果可以看出来，矩阵相乘与数的乘法运算不尽相同，比如
（1）不满足乘法交换律，即一般情况下AB≠BA，当然有时候两者会相等。
（2）满足按顺序的乘法结合律，即ABC=A(BC)=(AB)C≠A(CB)，因为不能交换。
（3）应用比较多的是用一个方阵乘以只有一列的矩阵，结果也是单列矩阵。单列矩阵可视为一个向量，用矩阵乘以向量可视为对向量的一种变换。
转置矩阵
把矩阵A的元素行、列对调，形成新的矩阵，称为A的转置矩阵，记作即
如果矩阵A=BC，那么。这证明起来麻烦，你不妨用两个矩阵验证一下结论。
逆矩阵
如果矩阵A有逆矩阵的话，记作，那么它们满足，其中I为单位方阵，即
比如矩阵A
A的逆阵为：
对于方阵A来说，AI+IA=A。
如果A的逆阵不存在，这种矩阵称为奇异阵（singular matrix），比如矩阵
具没有逆阵。
如果A = BC存在逆阵，那么有,这是因为
共轭转置矩阵、Hermitian矩阵和对称矩阵
将矩阵A转置以后，并取原来元素的共轭复数为元素，得到的矩阵为A的共轭转置矩阵（adjiont matrix）。比如
其共轭转置矩阵为
用公式记作。如果对于方阵A，如果
，那么就称为Hermitian矩阵；如果A的元素都为实数，则
,并且
；如果
，则称为对称矩阵。
幺正矩阵（Unitary matrices）和正交矩阵
对于一个方阵A，如果有成立，那么A就称为幺正矩阵，或者叫酋矩阵。
如果B为Hermitian矩阵，那么矩阵为幺正矩阵，即
。事实上我们可以用Taylor展开式将
展开为：
那么
注意因为B为Hermitian矩阵，有。
所以
因此
如果A为一个实幺正矩阵，那么成立，所以
。这种性质称为矩阵的正交性，A也称为正交矩阵。
这里我总有一个问题，Unitary到底取的是“统一”、“单位”还是“一”的意思？汉语又把它翻译为“幺正”、“酋”取的是哪一层意思？
行列式
方阵的行列式记作detA或
，通过Laplace展开式计算：
逐级展开后，可写成排列的形式：
为排列算子，按
中元素的行序数从
依次排，
为列序数的逆序数。
Slater 行列式
矩阵内的元素不仅仅是数，也可以为函数，按照同样的规则也可以将其行列式表达出来。这里有一种比较重要的函数矩阵的行列式——Slater行列式，是个电子系统的自旋轨道函数
，电子
的自旋轨道波函数
，组成的矩阵的行列式。
为第
个电子在第
个电子轨道的波函数。
为第
个电子的空间和自旋坐标
:
用Laplace展开式表示为：
所有行列式的性质同样也适用于Slater行列式，其中比较有用的有：
（1）
（2）从Laplace展开式中可知，如果一个自旋轨道有两个波函数组成，那么有
；
（3）将其中一行（列）元素对应加到另外任一行（列）元素，行列式大小不变；
（4）行列式中有线性相关行（列），那么，所以可以下结论说，Slater行列式线性无关，否则系统的自旋轨道为0。
（5）任意交换两行（列）元素，行列式大小不变，符号相反。结论：任意交换Slater行列式两个电子的坐标，会导致Slater行列式符号的改变，这满足Pauli不相容原理。
（6）。
（7）,
为矩阵的维度。
（8）如果U为幺正矩阵，那么，其中
为实数。这就意味着如果U为正交矩阵，那么
。
