矩阵与行列式

矩阵

定义

矩阵是由一个n\times m组成的矩形数据表格，其中第i行、第j列的元素用A_{ij} 表示：


矩阵相当于是一个军队的阵列，其中的每个元素相当于是队伍中的士兵。作为整体，我们一般考虑整个队伍的变化，很少单独处理某个士兵的情况。

矩阵相当是一组变换的函数，如果没有矩阵，函数表达起来特别复杂冗长。所以你可以认为矩阵是一种简化的函数表示法。

矩阵的加法运算。

两个行数和列数相同的矩阵才能进行加减运算，将两个矩阵中相同位置的元素分别作加减运算，结果仍然填充在同样的位置，新生成的矩阵与原来的矩阵具有相同的维度，即相同的行数和列数：

C_{ij}=A_{ij}+B_{ij},

比如


矩阵内的元素可以是实数，也可以是复数，甚至是函数的表达式。

矩阵的数乘运算

如果用一个数乘以矩阵cA = B，相当于是用这个数乘以矩阵中的每一个元素，得到的结果保持在相同的位置，比如


矩阵与矩阵相乘

矩阵A乘以矩阵B得到矩阵C，即C = AB，要求A的列数必须和B的行数相同才行，如果不同，则不能进行计算了，或者我们现在还没定义这种情。但对A的函数和B的列数没有类似要求，得到的矩阵C的行数为A的行数，C的列数为B的列数。——大家都取一个维度，也算是公平了吧。矩阵C内的元素

C_{ij}=\sum_{k=1}^NA_{ik}B_{kj}

即矩阵C的第i行、第j列的元素C_{ij}为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素依次相乘后加和起来的值。

当然从结果可以看出来，矩阵相乘与数的乘法运算不尽相同，比如

（1）不满足乘法交换律，即一般情况下AB≠BA，当然有时候两者会相等。

（2）满足按顺序的乘法结合律，即ABC=A(BC)=(AB)C≠A(CB)，因为不能交换。

（3）应用比较多的是用一个方阵乘以只有一列的矩阵，结果也是单列矩阵。单列矩阵可视为一个向量，用矩阵乘以向量可视为对向量的一种变换。

转置矩阵

把矩阵A的元素行、列对调，形成新的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A^T即(A^T)_{ij}=A_{ji}


如果矩阵A=BC，那么A^T=(BC)^T=C^TB^T。这证明起来麻烦，你不妨用两个矩阵验证一下结论。

逆矩阵

如果矩阵A有逆矩阵的话，记作，那么它们满足AA^{-1}=A^{-1}A=I，其中I为单位方阵，即


比如矩阵A

A的逆阵为：


对于方阵A来说，AI+IA=A。

如果A的逆阵不存在，这种矩阵称为奇异阵（singular matrix），比如矩阵


具没有逆阵。

如果A = BC存在逆阵，那么有A^{-1}=C^{-1}B^{-1},这是因为

 BC(C^{-1}B^{-1})=B(CC^{-1})CBC(C^{-1}B^{-1})=BB^{-1}=I

共轭转置矩阵、Hermitian矩阵和对称矩阵

将矩阵A转置以后，并取原来元素的共轭复数为元素，得到的矩阵为A的共轭转置矩阵（adjiont matrix）。比如


其共轭转置矩阵为


用公式记作A^†=(A^T)^*=(A^*)^T。如果对于方阵A，如果A^†=A，那么就称为Hermitian矩阵；如果A的元素都为实数，则

A^*=A,并且A^†=A^T；如果A=A^T，则称为对称矩阵。

幺正矩阵（Unitary matrices）和正交矩阵

对于一个方阵A，如果有A^†=A^{-1}成立，那么A就称为幺正矩阵，或者叫酋矩阵。

如果B为Hermitian矩阵，那么矩阵e^{iB}为幺正矩阵，即(e^{iB})^{-1}=(e^{iB})^†。事实上我们可以用Taylor展开式将e^{iB}展开为：

e^{iB}=I+(iB)+\frac{1}{2!}(iB)^2+...

那么

(e^{iB})^†=I+(-iB)+\frac{1}{2!}(-iB)^2+... =e^{-iB}

注意因为B为Hermitian矩阵，有B^†=B。

所以e^{iB}(e^{iB})^†=e^{iB}e^{-iB}=I

因此(e^{iB})^{-1}=(e^{iB})^†

如果A为一个实幺正矩阵，那么A^†=A^T=A^{-1}成立，所以AA^T=I。这种性质称为矩阵的正交性，A也称为正交矩阵。

这里我总有一个问题，Unitary到底取的是“统一”、“单位”还是“一”的意思？汉语又把它翻译为“幺正”、“酋”取的是哪一层意思？


行列式

方阵A=\left\{ A_{ij} \right\} 的行列式记作detA或\vert A \vert ，通过Laplace展开式计算：


逐级展开后，可写成排列的形式：


\hat{P} 为排列算子，按A中元素的行序数从1→N依次排，p为列序数的逆序数。

Slater 行列式

矩阵内的元素不仅仅是数，也可以为函数，按照同样的规则也可以将其行列式表达出来。这里有一种比较重要的函数矩阵的行列式——Slater行列式，是N个电子系统的自旋轨道函数\psi (1,2,...,N)，电子i的自旋轨道波函数\phi _{i}(j),i=1,2,...,N，组成的矩阵的行列式。\phi _{i}(j)为第i个电子在第j个电子轨道的波函数。j为第j个电子的空间和自旋坐标(x_{j},y_{j},z_{j},\sigma _{j}):


用Laplace展开式表示为：

                                                    \psi (1,2,...,N)=\sum_{P}(-1)^p \hat{P}[\phi_{1} (1)\phi_{2} (2)...\phi_{N} (N)]

所有行列式的性质同样也适用于Slater行列式，其中比较有用的有：

（1）detA^T=detA

（2）从Laplace展开式中可知，如果一个自旋轨道有两个波函数组成\phi _i=\xi +\zeta ，那么有\vert \phi _i \vert =\vert \xi \vert +\vert \zeta \vert ；

（3）将其中一行（列）元素对应加到另外任一行（列）元素，行列式大小不变；

（4）行列式中有线性相关行（列），那么detA=0，所以可以下结论说，Slater行列式线性无关，否则系统的自旋轨道为0。

（5）任意交换两行（列）元素，行列式大小不变，符号相反。结论：任意交换Slater行列式两个电子的坐标，会导致Slater行列式符号的改变，这满足Pauli不相容原理。

（6）det(AB)=detA\cdot detB。

（7）det(cA)=c^NdetA,N为矩阵的维度。

（8）如果U为幺正矩阵，那么detU=e^{i\phi }，其中\phi 为实数。这就意味着如果U为正交矩阵，那么detU=\pm 1。

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