概念
- L0 范数：指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0。换句话说，让参数W是稀疏的。
- L1 范数：指向量中各个元素绝对值之和，也叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）
- L2 范数：是指向量各元素的平方和然后求平方根。
作用
L1 范数
L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。
有人可能会这样给你回答“它是L0范数的最优凸近似”。实际上，还存在一个更美的回答：任何的规则化算子，如果他在Wi=0的地方不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏。
既然L0可以实现稀疏，为什么不用L0，而要用L1呢？个人理解一是因为L0范数很难优化求解（NP难问题），二是L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。所以大家才把目光和万千宠爱转于L1范数。
参数稀疏有什么好处呢？
- 特征选择(Feature Selection)：稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。
- 可解释性(Interpretability)：假设我们这个是个回归模型：y=w1x1+w2x2+…+w1000x1000+b。通过学习，如果最后学习到的w 就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征提供的信息是巨大的，决策性的。
L2 范数
- 通过L2范数，我们可以实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了过拟合。
为什么L2范数可以防止过拟合？我们让L2范数的规则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。 （那为什么越小的参数说明模型越简单？待解答！）
- 从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题.
说下ill-condition问题。ill-condition对应的是well-condition。那他们分别代表什么？假设我们有个方程组AX=b，我们需要求解X。如果A或者b稍微的改变，会使得X的解发生很大的改变，那么这个方程组系统就是ill-condition的，反之就是well-condition的。
对condition number来个一句话总结：condition number是一个矩阵（或者它所描述的线性系统）的稳定性或者敏感度的度量，如果一个矩阵的condition number在1附近，那么它就是well-conditioned的，如果远大于1，那么它就是ill-conditioned的，如果一个系统是ill-conditioned的，它的输出结果就不要太相信了。
作用总结
L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。
L1 与 L2 的直观解释
Part A
可以看到，L1-ball 与L2-ball 的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有“角”出现，而目标函数的测地线除非位置摆得非常好，大部分时候都会在角的地方相交。注意到在角的位置就会产生稀疏性，例如图中的相交点就有w1=0，而更高维的时候（想象一下三维的L1-ball 是什么样的？）除了角点以外，还有很多边的轮廓也是既有很大的概率成为第一次相交的地方，又会产生稀疏性。
相比之下，L2-ball 就没有这样的性质，因为没有角，所以第一次相交的地方出现在具有稀疏性的位置的概率就变得非常小了。这就从直观上来解释了为什么L1-regularization 能产生稀疏性，而L2-regularization 不行的原因了。
Part B
想象现在只有两个参数 theta1 theta2 要学, 蓝色的圆心是误差最小的地方, 而每条蓝线上的误差都是一样的. 正则化的方程是在黄线上产生的额外误差(也能理解为惩罚度), 在黄圈上的额外误差也是一样. 所以在蓝线和黄线 交点上的点能让两个误差的合最小. 这就是 theta1 和 theta2 正则化后的解. 要提到另外一点是, 使用 L1 的方法, 我们很可能得到的结果是只有 theta1 的特征被保留, 所以很多人也用 L1 正则化来挑选对结果贡献最大的重要特征. 但是 L1 的结并不是稳定的. 比如用批数据训练, 每次批数据都会有稍稍不同的误差曲线。
L2 针对于这种变动, 白点的移动不会太大, 而 L1的白点则可能跳到许多不同的地方 , 因为这些地方的总误差都是差不多的. 侧面说明了 L1 解的不稳定性。
Part C
为什么使用 L1-正则项，会倾向于使得参数稀疏化；而使用 L2-正则项，会倾向于使得参数稠密地接近于零？
这里引用一张来自周志华老师的著作，《机器学习》（西瓜书）里的插图，尝试解释这个问题。
为了简便起见，我们只考虑模型有两个参数 w1 与 w2 的情形。
在图中，我们有三组「等值线」。位于同一条等值线上的 w1 与 w2，具有相同的值（平方误差、L1-范数或L2-范数）。并且，对于三组等值线来说，当 (w1,w2) 沿着等值线法线方向，像外扩张，则对应的值增大；反之，若沿着法线方向向内收缩，则对应的值减小。
因此，对于目标函数 Obj(F) 来说，实际上是要在正则项的等值线与损失函数的等值线中寻找一个交点，使得二者的和最小。
对于 L1-正则项来说，因为 L1-正则项的等值线是一组菱形，这些交点容易落在坐标轴上。因此，另一个参数的值在这个交点上就是零，从而实现了稀疏化。
对于 L2-正则项来说，因为 L2-正则项的等值线是一组圆形。所以，这些交点可能落在整个平面的任意位置。所以它不能实现「稀疏化」。但是，另一方面，由于 (w1,w2) 落在圆上，所以它们的值会比较接近。这就是为什么 L2-正则项可以使得参数在零附近稠密而平滑。
