初等函数取得极大值或极小值的充要条件

准备知识

定义：设 x_{0}, \delta \in R, 其中 \delta>0, 以 x_{0} 为中心, 以 \delta 为半径, 长为 2 \delta 的开区间。即
\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)=\left\{x|| x-x_{0} |<\delta, \delta>0\right\}
​ 称为点 x_{0} 的 \delta 邻域，记为 U\left(x_{0}, \delta\right).

本文核心：

f(x)为初等函数，且不为常函数

  • f(x)在x=x_0处取得极大值\Leftrightarrow \begin{cases} f'(x_0)=0\\ \exists U\left(x_{0}, \delta\right), f''(x)\leqslant 0 \end{cases}
  • f(x)在x=x_0处取得极小值\Leftrightarrow \begin{cases} f'(x_0)=0\\ \exists U\left(x_{0}, \delta\right), f''(x)\geqslant 0 \end{cases}

理解：

  • f(x)在x=x_0处取得极大值\Leftrightarrow f^\prime(x_0)=0 且f^\prime(x)在x_0附近的一个小区间单调递减.
  • f(x)在x=x_0处取得极小值\Leftrightarrow f^\prime(x_0)=0 且f^\prime(x)在x_0附近的一个小区间单调递增.

例1

若函数 f(x)=m x^{2}+2 \cos x+m(m \in \mathbf{R})在 x=0 处取得极小值,则实数 m 的取值范围是 ________ .

解：f'(x)=2mx-2\sin x，很显然f'(0)=0.

\exists区间(-\delta,\delta)，使f''(x)=2m-2\cos x\geqslant0恒成立，即m\geqslant\cos x，所以m\geqslant 1.

例2

设 f(x)=x \ln x-a x^{2}+(2 a -1) x, a \in \mathbf{R}
(1) 令 g(x)=f^{\prime}(x), 求 g(x) 的单调区间；（略）
(2) 已知 f(x) 在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值 范围。

解：f'(x)=\ln x-2ax+2a，很显然f'(1)=0.

\exists区间(1-\delta,1+\delta) ，使f''(x)=\dfrac{1}{x}-2a=\dfrac{1-2ax}{x}\leqslant0恒成立，

即1-2ax\leqslant0在区间(1-\delta,1+\delta)恒成立，

即2a\geqslant\dfrac{1}{x}在(1-\delta,1+\delta)恒成立，所以2a>1，即a>\dfrac{1}{2}.

理解：

  1. 这里的\delta是一个很小的数，越小越好，但\delta再小，\dfrac{1}{1-\delta}也大于1；
  2. 只要2a>1，\delta就存在，(1-\delta,1+\delta)这个区间就存在.
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