//2020.07.24 首次编辑发布//

0. 课本与视频课

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

1.0 这一章属于引言性质

介绍一些信号与系统分析中最基础的概念，例如连续与离散、信号的能量、信号的尺度变换、周期、信号奇偶、指数信号与正弦信号、单位冲击（unit impulse）与单位阶跃（unit step）、系统的互联与系统的性质。

1.1 连续时间和离散时间

1.1.1 数学表示

本书讨论范围仅限于单一变量的函数，且总是用时间表示自变量。

连续时间信号， $x(t)$

离散时间信号，也说离散时间序列， $x[n]$

除开一些本身就是离散时间序列的情况，我们现在这个时代大部分离散时间序列都是通过对连续时间信号采样得到的，ADC就是常见应用。

1.1.2 信号的能量与功率

为了将来计算方便，本书去掉了量纲，且把信号看成复数，那么信号能量等于信号模的平方的积分，即

计算	连续时间	离散时间
有限时间间隔内能量	$\int_{t_1}^{t_2} \vert x(t) \vert ^2dt$	$\sum_{n=n_1}^{n_2} \vert x[n] \vert ^2$
有限时间间隔内平均功率	$\frac {1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} \vert x(t) \vert ^2dt$	$\frac {1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2} \vert x[n] \vert ^2$
无限时间间隔内能量	$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert ^2dt$	$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \vert x[n] \vert ^2$
无限时间间隔内平均功率	$\lim_{T\to\infty} \frac {1}{2T} \int_{-T}^{+T} \vert x(t) \vert ^2dt$	$\lim_{N\to\infty} \frac {1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{+N} \vert x[n] \vert ^2$

利用无限时间间隔内的能量和功率，可以区分三种信号，

分类	举例	计算
$E_\infty < \infty$ , $P_\infty = 0$	$x(t)=\begin{cases} 1, {0\leq t\leq 1} \\\\ 0, others \end{cases}$	$E_\infty=1$ $P_\infty=0$
$E_\infty = \infty$ , $P_\infty > 0$	$x[n]=4$	$E_\infty=\infty$ $P_\infty=16$
$E_\infty = \infty$ , $P_\infty = \infty$	$x(t)=t$	$E_\infty=\infty$ $P_\infty=\infty$

1.2 自变量（时间）的变换

1.2.1 自变量变换的步骤

有三种，时移（time shift）、时间反转（time reversal）、时间尺度变换（time scaling）。

已知信号 $x(t)$ ，求信号 $x(\alpha t+\beta)$ ，按照以下三步进行自变量变换，

第1步：根据 $\beta$ 对信号 $x(t)$ 进行时移得到 $x(t+\beta)$ ；
第2步：根据 $\alpha$ 的绝对值 $\vert \alpha \vert$ 对信号 $x(t+\beta)$ 进行尺度变换，如果 $\vert \alpha \vert <1$ ，则扩展，如果 $\vert \alpha \vert >1$ ，则压缩，得到 $x(\vert \alpha \vert t+\beta)$ ；
第3步：根据 $\alpha$ 的符号决定是否需要反转，最终得到 $x(\alpha t+\beta)$ 。

1.2.2 周期信号

连续时间， $x(t)=x(t+T)$ ，例如无电阻损耗的理想 $LC$ 电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自然响应。

离散时间， $x[n]=x[n+N]$

注意信号 $x(t)$ 和 $x[n]$ 对于周期 $mT$ 和 $mN$ 都是周期的，但我们只说周期为 $T$ 和 $N$ ，也称为基波周期。

1.2.3 信号奇偶性

偶信号， $x(-t)=x(t)$ ， $x[-n]=x[n]$

奇信号， $x(-t)=-x(t)$ ， $x[-n]=-x[n]$ ，注意当 $t=0$ 或者 $n=0$ 时奇信号一定为 $0$ 。

任何信号都能分为偶部和奇部， $\mathcal{Ev}\{ x(t) \} = \frac {1}{2}[x(t)+x(-t)]$ $\mathcal{Od}\{ x(t) \} = \frac {1}{2}[x(t)-x(-t)]$

1.3 指数信号和正弦信号

1.3.1 连续时间复指数信号 $x(t)=Ce^{at}$ 和正弦信号 $x(t)=A\cos(\omega _0 t+\phi)$

实指数信号
$C$ 和 $a$ 都是实数，太简单了，不说也不放图了。。

周期复指数信号和正弦信号
$a$ 为纯虚数，且特别考虑 $C=1$ ，即信号 $x(t)=e^{j \omega _0 t}$ 。
因为需要 $x(t)=x(t+T)$ ，即 $e^{j \omega _0 t}=e^{j \omega _0 (t +T)}=e^{j \omega _0 t}e^{j \omega _0 T}$
则必须有 $e^{j \omega _0 T}=1$
得到 $T_0 = \frac {2 \pi}{\vert \omega _0 \vert}$
根据欧拉公式将具有相同基波周期的复指数信号和正弦信号联系起来，
$e^{j (\omega _0 t +\phi)}=\cos(\omega _0 t+\phi)+j \sin(\omega _0 t + \phi)$
正弦信号 $x(t)=A\cos (\omega _0 t + \phi)$
基波频率 $\omega _0$ 的单位是rad/s，相位 $\phi$ 的单位是rad。 $\omega _0 = 2\pi f _0$ ， $f _0$ 的单位是周期数/秒。

一般复指数信号
令 $C=\vert C \vert e^{j \theta}$ ， $a=r+j\omega _0$ ，那么 $Ce^{at}=\vert C \vert e^{j\theta} e^{(r+j\omega _0)t}=\vert C \vert e^{rt} e^{j(\omega _0 t +\theta)}$
利用欧拉公式，可以进一步推导 $Ce^{at}=\vert C \vert e^{rt} \cos (\omega _0 t+\theta)+j \vert C \vert e^{rt} \sin (\omega _0 t+\theta)$
该信号的实部和虚部都是振幅为 $\vert C \vert e^{rt}$ 的“正弦信号”，

$r=0$ 时实部和虚部都是正弦信号
$r<0$ 时称为阻尼正弦震荡
$r>0$ 时实部和虚部的振幅呈指数增强

1.3.2 离散时间复指数信号和正弦信号

定义离散时间下，复指数信号 $x[n]=C\alpha ^n$

实指数信号
$C$ 和 $\alpha$ 都是实数，和连续时间类似，都非常简单，注意 $\alpha <0$ 时 $x[n]$ 的符号交替变化。

正弦信号
$x[n]=A \cos (\omega _0 n+\phi)$
注意该信号不一定是周期的，因为离散情况下，周期必须为整数。

一般复指数信号
令 $C=\vert C \vert e^{j\theta}$ ， $\alpha=\vert \alpha \vert e^{j\omega _0}$ ，有
$x[n]=C\alpha^n=\vert C \vert \vert \alpha \vert ^n e^{j(\omega _0 n + \theta)}=\vert C \vert \vert \alpha \vert ^n \cos (\omega _0 n + \theta) + j \vert C \vert \vert \alpha \vert ^n \sin (\omega _0 n + \theta)$
与连续时间情况类似，

$\alpha = 1$ 时，信号 $x[n]$ 的实部和虚部都是正弦信号
$\alpha > 1$ 时，信号 $x[n]$ 的实部和虚部的振幅呈指数增强
$\alpha < 1$ 时，信号 $x[n]$ 的实部和虚部的振幅呈指数衰减

1.3.3 离散时间复指数序列的周期性质

连续时间信号 $x(t)=e^{j\omega _0 t}$	离散时间序列 $x[n]=e^{j \omega _0 n}$
$\omega _0$ 不同，信号不同	频率 $\omega _0$ 如果相差 $2\pi$ 的整数倍，则信号相同
对任意 $\omega _0$ 都是周期信号	仅当 $\omega _0 = 2\pi m/N$ 时，信号才是周期的， $m$ 和 $N$ 都是整数
基波频率为 $\omega _0$	基波频率为 $\omega _0 /m$ ，即 $2\pi/N$
基波周期 $\frac {2\pi}{\omega _0}$	基波周期 $\frac {2\pi m}{\omega _0}$

需要注意的是在离散情况下，具有谐波关系的一组信号包含且仅包含 $N$ 个不同的周期复指数信号，
$\phi _0 [n]=1, \phi _1 [n]=e^{j2\pi n/N}, \phi _2 [n]=e^{j4\pi n/N},...,\phi _{N-1} [n]=e^{j2\pi (N-1) n/N}$
而 $\phi _{N} [n]=e^{j2\pi N n/N}=e^{j2\pi n}=1=\phi _0 [n]$
即 $\phi _{N} [n]$ 与 $\phi _{0} [n]$ 重复。

1.4 单位冲激与单位阶跃

1.4.1 离散时间单位冲激与单位阶跃序列

$\delta [n]=\begin{cases} 1, {n = 0} \\\\ 0, {n \neq 0} \end{cases}$
$u[n]=\begin{cases} 1, {n \geq 0} \\\\ 0, {n < 0} \end{cases}$

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分（first differece），即
$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$
同理，离散时间单位阶跃是离散时间单位脉冲的求和函数，即
$u[n]=\sum_{m=-\infty}^{n} \delta [m]$
注意上面这个式子中的求和上下限和单位脉冲函数的宗量为 $m$ ，这就是所谓的running sum。

而从本质上理解 $u[n]$ 和 $\delta [n]$ 的关系非常重要，
$u[n]=\delta [0] + \delta [1] + \delta [2] + ... + \delta [n]=\sum _{k=0}^{n} \delta [n-k]$
单位脉冲 $\delta [n]$ 又被称为单位样本，是因为其采样性质
$x[n] \delta [n]=x[0] \delta [n]$
更为一般的情况， $x[n] \delta [n-n_0]=x[n_0] \delta [n-n_0]$
单位脉冲的采样性质我们会在第2章中用到，第7章也要用但我还没看到。。

1.4.1 连续时间单位冲激与单位阶跃函数

$u(t)=\begin{cases} 0, {t < 0} \\\\ 1, {t > 0} \end{cases}$
$u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta (\tau) d \tau$
上面这个式子就是在表示连续时间下， $u(t)$ 是 $\delta (t)$ 的running integral，注意看积分上下限和积分变量。
连续时间下，单位冲激函数 $\delta (t)$ 的定义更为抽象，
$\delta (t)=\lim _{\Delta \to 0} \delta _\Delta (t)=\lim _{\Delta \to 0} \frac{\mathrm {d} u {_\Delta} (t)}{\mathrm {d} t}$
与离散时间类似，我们从本质上理解 $u(t)$ 和 $\delta (t)$ 的关系，
$u(t)=\int _{0}^{\infty} \delta (t-\sigma) d\sigma$
采样性质
$x(t) \delta (t-t_0)=x(t_0) \delta (t-t_0)$