第九章 动态规划part13
详细布置
647. 回文子串
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图：
image.png
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
- 当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
- 当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
result就是统计回文子串的数量。
注意这里没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。-
确定遍历顺序
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
image.png
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。 -
举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
image.png
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
char[] chars = s.toCharArray();
int len = s.length();
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
int result = 0;
for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
for(int j = i; j < len; j++){
if(chars[i] == chars[j]){
if(j - i <= 1){ // 情况1 和情况2
dp[i][j] = true;
result++;
}else if(dp[i + 1][j - 1]){ //情况3
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
}
return result;
}
}
双指针法
动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int result = 0;
for(int i = 0; i < s.length(); i++){
result += extend(s, i, i); //以i为中心
result += extend(s, i, i + 1); //以i和i+1为中心
}
return result;
}
private int extend(String s, int i, int j){
int res = 0;
while(i >= 0 && j < s.length() && s.charAt(i) == s.charAt(j)){
res++;
i--; //注意这里是i-- j++
j++;
}
return res;
}
}
516.最长回文子序列
647. 回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 大家要搞清楚两者之间的区别。
文章讲解
思路
- 本题是求回文子序列，回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。-
确定递推公式
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
image.png
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
- dp数组如何初始化
- 首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
- 所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
- 其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
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确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
image.png
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j可以正常从左向右遍历。 -
举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
image.png
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int len = s.length();
int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
dp[i][i] = 1;
for(int j = i + 1; j < len; j++){
if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]));
}
}
}
return dp[0][len - 1];
}
}
动态规划总结篇
https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html
