参考博客https://cloud.tencent.com/developer/article/1453737

学习动态规划的笔记，博客中的两个小demo都用python实现了一次。

首先从斐波那契数列入手，斐波那契数列可以看做一个简单的动态规划。求f(n) = f(n-1) + f(n-2),这个大学都学过，用一个递归就可以求出来了，而且其实也是比较直观的。比如f(100) 就可以知道事f(99) + f(98)然后一次类推一个个算出来，但是这样子有一个问题，就是复杂度极高，O(2**n),指数爆炸！我尝试在python下用这个求100的斐波那契数，就已经要算很久了。于是乎就有了改进，通过一个表记录子问题的答案。这样子 一下子复杂度就下降成线性的O(n)，在python代码下100，甚至1000很快就算出来（Ps.在python种递归调用超过1000是不被允许的，需要修改配置参数。而且斐波那契1000也太大了吧），最后还有一点优化空间，就是上面的思路都是从上往下算，还可以从下网上算，这就是动态规划的思路了。可以看到斐波那契数列之和他前两个数有关，那就可以从f（1）开始计算，算道f(100)，复杂度为O(1)。

有了上面例子的铺垫，开始看硬币问题。类似01背包，需要用尽可能少的硬币数目拼凑初目标金额。

终于把硬币问题的三种解法（递归/备忘录/dp）看完了，说实话递归是最容易绕进去的，由于实在存在太多的分支导致就算想要一步一步的按照逻辑走一遍马上就会乱掉。而当最后写出dp的解法后就会发现是如此的简单优雅，代码贴上去。这里虽然现在理解了，但是肯定不过一段时间遗忘的，或者换一个形式出现又不知道怎么解决了，总之还需多看啊。只要理解了动态规划的中心思想，代码是如此的简单优雅。

fib_result = {}
coin_result_dict = {}


import sys
sys.setrecursionlimit(9000000) #这里设置大一些
'''
递归暴力求解，O(n**2)效率低下
python对递归的调用次数有限制，超过1000次就会报错，可以修改参数配置
import sys
sys.setrecursionlimit(9000000) #这里设置大一些
'''
def fib(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)


'''
备忘录方法，通过记录子问题的解，减少计算次数
复杂度O(n)
'''
def fib_helper(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return result(n-1) + result(n-2)


def result(n):
    if not n in fib_result:
        fib_result[n] = fib_helper(n)
    return fib_result[n]


'''
动态规划的思路，自下而上的求解
'''
def fib_dp(n):
    dp_map = {1:1,2:1}
    for i in range(3, n+1):
        dp_map[i] = dp_map[i - 1] + dp_map[i - 2]
    return dp_map[n]


'''
进一步优化，只保存前两个信息，复杂度为O(1)
'''
def fib_dp2(n):
    if n < 2:
        return n
    prev = 0
    curr = 1
    for i in range(1, n):
        sum = prev + curr
        prev = curr
        curr = sum
    return curr


###################################################################################
'''
上面是斐波那契数列
下面的例子是硬币组合
即又c种不同面额的货币，c1,c2,c3...ck 需要组合成n元，最少需要多少个硬币
递归问题的关键是状态转移方程，在这个问题中硬币数目f(n) = 1 + min{f(n - ci)|i 属于 [i,k]}
'''


'''
先用递归的方法求解
'''
def coin_cur(c,n):
    ans = sys.maxsize
    if n == 0:
        return 0
    for c_single in c:
        if c_single > n:
            continue
        rest_amount = coin_cur(c, n - c_single)
        if rest_amount == -1:
            continue
        print(c_single)  # 输出一个硬币队列，结合函数输出，例如3，就是最后三个数组即是所需的硬币组合
        ans = min(ans, rest_amount + 1)  # 注意上面的状态转移方程，此处就是对比ci1情况下和ci2情况下那种需要用到的硬币少
    return -1 if ans == sys.maxsize else ans


'''
带备忘录的方法
'''
def coin_cur_help(c, n):
    ans = sys.maxsize
    if n == 0:
        return 0
    for c_single in c:
        if c_single > n:
            continue
        rest_amount = coin_result(c, n - c_single)
        if rest_amount == -1:
            continue
        else:
            #print(c_single)
            ans = min(ans,rest_amount + 1)
    return -1 if ans == sys.maxsize else ans


def coin_result(c, n):
    if not n in coin_result_dict:
        coin_result_dict[n] = coin_cur_help(c, n)
    return coin_result_dict[n]


'''
动态规划
'''
def coin_dp(c, n):
    dp_map = {0:0}
    for i in range(1, n+1):
        dp_map[i] = sys.maxsize
    for k in dp_map:
       for c_single in c:
           if k < c_single:
               continue
           else:
                dp_map[k] = min(dp_map[k], 1+dp_map[k - c_single])
    return dp_map[n] if dp_map[n] != sys.maxsize else -1


if __name__ == '__main__':
    c = [5,10]
    n = 7
    print(coin_dp(c, n))