高等代数理论基础72：对称双线性函数

对称双线性函数

定义： $f(\alpha,\beta)$ 是线性空间V上的一个双线性函数,若 $\forall \alpha,\beta\in V$ ,有 $f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)$ ,则称 $f(\alpha,\beta)$ 为对称双线性函数

若 $\forall \alpha,\beta\in V$ ,有 $f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)$ ,则称 $f(\alpha,\beta)$ 为反称双线性函数

设 $f(\alpha,\beta)$ 是线性空间V上的一个对称双线性函数,对V的任一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

$f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=f(\varepsilon_j,\varepsilon_i)$

故其度量矩阵是对称的

又若双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵是对称的,则对V中任意两个向量 $\alpha=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)X$ , $\beta=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)Y$ ,有

$f(\alpha,\beta)=X'AY=Y'A'X=Y'AX=f(\beta,\alpha)$

故 $f(\alpha,\beta)$ 是对称的

即双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵

双线性函数是反称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反称矩阵

注：欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵

定理：设V是数域P上n维线性空间, $f(\alpha,\beta)$ 是V上对称双线性函数,则存在V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,使 $f(\alpha,\beta)$ 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵

证明：

$只需证能找到一组基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n使f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0,i\neq j$

$若\forall \alpha,\beta\in V,都有f(\alpha,\beta)=0,则结论成立$

$若f(\alpha,\beta)不全为0$

$先证必有\varepsilon_1使f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)\neq 0$

$否则若\forall \alpha\in V,有f(\alpha,\alpha)=0$

$则\forall \alpha,\beta\in V,有$

$f(\alpha,\beta)={1\over 2}\{f(\alpha+\beta,\alpha+\beta)-f(\alpha,\alpha)-f(\beta,\beta)\}=0,矛盾$

$故上述\varepsilon_1存在$

$对空间维数n作归纳法$

$设对于维数\le n-1的空间$

$上述结论成立$

$将\varepsilon_1扩充成V的一组基\varepsilon_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$

$令\varepsilon_i'=\eta_i-{f(\varepsilon_1,\eta_i)\over f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)}\varepsilon_1,i=1,2,\cdots,n$

$则f(\varepsilon_1,\varepsilon_i')=0,i=1,2,\cdots,n$

$易知\varepsilon_1,\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n'仍是V的一组基$

$L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')中每个向量\alpha都满足f(\varepsilon_1,\alpha)=0$

$且V=L(\varepsilon_1)\oplus L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')$

$将f(\alpha,\beta)看成L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')上的双线性函数$

$仍是对称的$

$但L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')的维数小于n$

$由归纳假设,L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')有一组基\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n满足$

$f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0,i,j=2,\cdots,n,i\neq j$

$由V=L(\varepsilon_1)\oplus L(\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n')$

$故\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n是V的一组基且满足要求\qquad\mathcal{Q.E.D}$

若 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵为对角矩阵,则对 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^ny_i\varepsilon_i$

$f(\alpha,\beta)=d_1x_1y_1+d_2x_2y_2+\cdots+d_nx_ny_n$

这个表达式也是 $f(\alpha,\beta)$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的度量矩阵为对角形的充分条件

推论：设V是复数域上n维线性空间, $f(\alpha,\beta)$ 是V上对称双线性函数,则存在V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,对V中任意向量 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^ny_i\varepsilon_i$ ,有 $f(\alpha,\beta)=x_1y_1+\cdots+x_ry_r(0\le r\le n)$

推论：设V是实数域上n维线性空间, $f(\alpha,\beta)$ 是V上对称双线性函数,则存在V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,对V中任意向量 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^ny_i\varepsilon_i$ ,有 $f(\alpha,\beta)=x_1y_2+\cdots+x_py_p-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots-x_ry_r(0\le p\le r\le n)$

双线性函数与二次齐次函数

定义：设V是数域P上线性空间, $f(\alpha,\beta)$ 是V上双线性函数,当 $\alpha=\beta$ 时,V上函数 $f(\alpha,\alpha)$ 称为与 $f(\alpha,\beta)$ 对应的二次齐次函数

给定V上一组基 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ ,设 $f(\alpha,\beta)$ 的度量矩阵为 $A=(a_{ij})_{n\times n}$

对V中任一向量 $\alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i$ ,有 $f(\alpha,\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$

$x_ix_j$ 的系数为 $a_{ij}+a_{ji}$

故若两个双线性函数的度量矩阵分别为 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 及 $B=(b_{ij})_{n\times n}$

只要 $a_{ij}+a_{ji}=b_{ij}+b_{ji},i,j=1,2,\cdots,n$ ,则它们对应的二次齐次函数相同,故有很多双线性对应于同一个二次齐次函数,但若要求A为对称矩阵,即要求双线性函数为对称的,则一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数

$f(\alpha,\alpha)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$ ,二次齐次函数的坐标表达式即二次型,与对称矩阵 $1-1$ 对应,且该对称矩阵即唯一与该二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵

定理：设 $f(\alpha,\beta)$ 是n维线性空间V上的反称双线性函数,则存在V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{-r},\eta_1,\cdots,\eta_s$ 使得

$\begin{cases}f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-i})=1\qquad i=1,\cdots,r\\ f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\qquad i+j\neq 0\\ f(\alpha,\eta_k)=0\qquad \alpha\in V,k=1,\cdots,s\end{cases}$

证明：

$若f(\alpha,\beta)是零函数$

$则V的任一组基都可取作\eta_1,\cdots,\eta_s满足要求$

$若f(\alpha,\beta)不是零函数$

$则必有\varepsilon_1,\beta使f(\varepsilon_1,\beta)\neq 0$

$\because f(\varepsilon_1,\lambda\beta)=\lambda f(\varepsilon_1,\beta)$

$\therefore 可取适当的\lambda$

$令\varepsilon_{-1}=\lambda\beta,使f(\varepsilon_1,\varepsilon_{-1})=1$

$将\varepsilon_1,\varepsilon_{-1}扩充成V的一组基\varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\beta_3',\cdots,\beta_n'$

$令\beta_i=\beta_i'-f(\beta_i',\varepsilon_{-1})\varepsilon_1+f(\beta_i',\varepsilon_1)\varepsilon_{-1},i=3,4,\cdots,n$

$则f(\beta_i,\varepsilon_1)=f(\beta_i,\varepsilon_{-1})=0,i=3,4,\cdots,n$

$显然\varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\beta_3,\beta_4,\cdots,\beta_n仍是V的基$

$\therefore V=L(\varepsilon_1,\varepsilon_{-1})\oplus (\beta_3,\beta_4,\cdots,\beta_n)$

$且f(\alpha,\beta)看作L(\beta_3,\beta_4,\cdots,\beta_n)上的双线性函数仍是反称的$

$由归纳法,有L(\beta_3,\beta_4,\cdots,\beta_n)的基\varepsilon_2,\varepsilon_{-1},\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{-r},\eta_1,\cdots,\eta_s满足f(X,Y)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_iy_j$

$\because f(\varepsilon_1,\beta_i)=f(\varepsilon_{-1},\beta_i)=0,i=3,4,\cdots,n$

$\therefore\forall \alpha\in L(\beta_3,\beta_4,\cdots,\beta_n)都有f(\varepsilon_{-1},\alpha)=f(\varepsilon_{-1},\alpha)=0$

$\therefore \varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{-r},\eta_1,\cdots,\eta_s满足$

$\begin{cases}f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-i})=1\qquad i=1,\cdots,r\\ f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\qquad i+j\neq 0\\ f(\alpha,\eta_k)=0\qquad \alpha\in V,k=1,\cdots,s\end{cases}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：V上的对称双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 若是非退化的,则有V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 满足

$\begin{cases}f(\varepsilon_i,\varepsilon_i)\neq 0\qquad i=1,2,\cdots,n\\ f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\qquad j\neq i\end{cases}$

不等式是非退化条件保证的

这样的基叫做V的对于 $f(\alpha,\beta)$ 的正交基

若V上的反称双线性函数 $f(\alpha,\beta)$ 是非退化的,则有V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_{-1},\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{-r}$ 使

$\begin{cases}f(\varepsilon_i,\varepsilon_{-i})=1,i=1,2,\cdots,r\\ f(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0,i+j\neq 0\end{cases}$

由非退化的条件, $\eta_1,\cdots,\eta_s$ 不可能出现,故具有非退化反称双线性函数的线性空间一定是偶数维

对于具有非退化对称、反称双线性函数的线性空间V,可将这些双线性函数看成V上的一个"内积",仿照欧氏空间讨论度量性质,可讨论"正交性"、"正交基"及保持这个双线性函数的线性变换

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