3.12 权重衰减
上一节中我们观察了过拟合现象，即模型的训练误差远小于它在测试集上的误差。虽然增大训练数据集可能会减轻过拟合，但是获取额外的训练数据往往代价高昂。本节介绍应对过拟合问题的常用方法：权重衰减（weight decay）。
3.12.1 方法
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3.12.2 高维线性回归实验
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%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = torch.ones(num_inputs, 1) * 0.01, 0.05
features = torch.randn((n_train + n_test, num_inputs))
labels = torch.matmul(features, true_w) + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]
3.12.3 从零开始实现
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3.12.3.1 初始化模型参数
首先，定义随机初始化模型参数的函数。该函数为每个参数都附上梯度。
def init_params():
w = torch.randn((num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
return [w, b]
3.12.3.2 定义L2范数惩罚项
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def l2_penalty(w):
return (w**2).sum() / 2
3.12.3.3 定义训练和测试
下面定义如何在训练数据集和测试数据集上分别训练和测试模型。与前面几节中不同的是，这里在计算最终的损失函数时添加了L2范数惩罚项。
batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss
dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
def fit_and_plot(lambd):
w, b = init_params()
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 添加了L2范数惩罚项
l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
l = l.sum()
if w.grad is not None:
w.grad.data.zero_()
b.grad.data.zero_()
l.backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
train_ls.append(loss(net(train_features, w, b), train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features, w, b), test_labels).mean().item())
d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', w.norm().item())
3.12.3.4 观察过拟合
接下来，让我们训练并测试高维线性回归模型。当lambd设为0时，我们没有使用权重衰减。结果训练误差远小于测试集上的误差。这是典型的过拟合现象。
fit_and_plot(lambd=0)
输出：
L2 norm of w: 15.114808082580566
image
3.12.3.5 使用权重衰减
下面我们使用权重衰减。可以看出，训练误差虽然有所提高，但测试集上的误差有所下降。过拟合现象得到一定程度的缓解。另外，权重参数的
L2范数比不使用权重衰减时的更小，此时的权重参数更接近0。
fit_and_plot(lambd=3)
输出：
L2 norm of w: 0.035220853984355927
image
3.12.4 简洁实现
这里我们直接在构造优化器实例时通过weight_decay参数来指定权重衰减超参数。默认下，PyTorch会对权重和偏差同时衰减。我们可以分别对权重和偏差构造优化器实例，从而只对权重衰减。
def fit_and_plot_pytorch(wd):
# 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
net = nn.Linear(num_inputs, 1)
nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr) # 不对偏差参数衰减
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
l = loss(net(X), y).mean()
optimizer_w.zero_grad()
optimizer_b.zero_grad()
l.backward()
# 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
optimizer_w.step()
optimizer_b.step()
train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())
与从零开始实现权重衰减的实验现象类似，使用权重衰减可以在一定程度上缓解过拟合问题。
fit_and_plot_pytorch(0)
输出：
L2 norm of w: 12.86785888671875
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fit_and_plot_pytorch(3)
输出：
L2 norm of w: 0.09631537646055222
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小结
- 正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
- 权重衰减等价于L2范数正则化，通常会使学到的权重参数的元素较接近0。
- 权重衰减可以通过优化器中的weight_decay超参数来指定。
- 可以定义多个优化器实例对不同的模型参数使用不同的迭代方法。
注：本节除了代码之外与原书基本相同，原书传送门
