题目

难度：★★★☆☆
类型：数学
方法：动态规划

传送门

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

解答

与上一道题类似，是典型的动态规划问题。

设置矩阵dp，该矩阵中每个位置的元素dp[i][j]表示到达位置(i,j)时的最小路径和。

初始情况

i=0，第一行，此时dp[0][j]表示第一行位置j以前的所有元素之和；
j=0，第一列，此时dp[i][0]表示第一列位置i以前的所有元素之和；

状态转移方程

对于非第一行和第一列元素，存在状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + dp[i, j]

最终情况

选取dp矩阵中右下角的元素作为结果返回即可。

class Solution:
    def minPathSum(self, grid):
        m, n = len(grid), len(grid[0])

        # 处理第一行
        for i in range(1, m):
            grid[i][0] += grid[i-1][0]

        # 处理第一列
        for j in range(1, n):
            grid[0][j] += grid[0][j-1]

        # 处理中间的数
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                grid[i][j] += min(grid[i-1][j], grid[i][j-1])

        # 返回最终结果
        return grid[-1][-1]


if __name__ == "__main__":
    s = Solution()
    print(s.minPathSum([
        [1, 3, 1, 2],
        [1, 5, 1, 1],
        [4, 2, 1, 1]
    ]))

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