课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

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1. 常用公式的对比

公式	傅里叶级数	傅里叶变换
综合公式	$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk \omega _0 t}$	$x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j \omega)e^{j\omega t} \mathrm{d} \omega$
分析公式	${a_k} = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk \omega _0 t} \mathrm{d}t$	$X(j \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} \mathrm{d} t$
线性	$z(t)=Ax(t)+By(t) \xleftrightarrow{FS} c_k=Aa_k+Bb_k$	$ax(t)+by(t) \xleftrightarrow{F} aX(j \omega)+bY(j \omega)$
时移性质	$x(t-t_0) \xleftrightarrow{FS} e^{-jk \omega _0 t_0} a_k$	$x(t-t_0) \xleftrightarrow{F} e^{-j \omega t_0} X(j \omega)$
共轭与共轭对称	$x^(t) \xleftrightarrow{FS} a^_{-k}$	$x^(t) \xleftrightarrow{F} X^(-j \omega)$
时间尺度变换	$x(\alpha t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {a_k} e^{jk(\alpha \omega _0) t}$	$x(at) \xleftrightarrow{F} \frac{1}{\vert a \vert} X(\frac{j \omega}{a})$
帕斯瓦尔定理	$\frac{1}{T} \int_{T} \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d} t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \vert a_k \vert ^2$	$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert ^2 \mathrm{d} t = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \vert X(j \omega) \vert ^2 \mathrm{d} \omega$
相乘性质	$x(t)y(t) \xleftrightarrow{FS} h_k = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} a_k b_{k-l}$	$s(t)p(t) \xleftrightarrow{F} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S(j \theta) P(j(\omega - \theta)) \mathrm{d} \theta$

2. 推导过程对比

2.1 傅里叶级数推导

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega _0 t}$

现在来确定系数 $a_k$ ，综合公式左右同时乘以 $e^{-jn\omega _0 t}$ ，得到

$x(t) e^{-jn\omega _0 t} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{j(k-n) \omega _0 t}$

将上式在 $T$ 内对 $t$ 积分，

$\int_T x(t) e^{-jn\omega _0 t} \mathrm{d} t = \int_T \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{j(k-n) \omega _0 t} \mathrm{d} t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \int_T e^{j(k-n) \omega _0 t} \mathrm{d} t$

当 $k \neq n$ 时， $T$ 是 $e^{j(k-n)\omega _0 t}$ 的基波周期的整数倍，也可以说是周期。那么在 $T$ 内对 $t$ 积分的结果就是0.
当 $k = n$ 时， $e^{j(k-n)\omega _0 t} = 1$

综合看，上式右侧的求和就变为 $Ta_k$

所以，

$a_k = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk \omega _0 t} \mathrm{d} t$

2.2 傅里叶变换推导

假设一个具有有限持续期的非周期信号 $x(t)$ ，定义一个周期信号 $\tilde{x} (t)$ ，使它的一个周期等于 $x(t)$ ，即

$x(t) = \begin{cases} \tilde{x} (t), & \vert t \vert < T_1 \\\\ 0, & \vert t \vert > T_1 \end{cases}$

将周期信号 $\tilde{x} (t)$ 展开为傅里叶级数，得到

$\tilde{x} (t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega _0 t}$

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x} (t) e^{-jk \omega _0 t} \mathrm{d} t$

对于上述分析公式来说，因为在 $\vert t \vert < T/2$ 时， $x(t) = \tilde{x}(t)$ ，因此上面的分析公式可以改写为，
$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-jk \omega _0 t} \mathrm{d} t$

而又由于当 $\vert t \vert > T/2$ 时， $x(t) = 0$ ，那么上式中的积分上下限就可以扩大为无穷，
$a_k = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-jk \omega _0 t} \mathrm{d} t$

定义 $Ta_k$ 的包络线 $X(j \omega)$ ，
$X(j \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} \mathrm{d} t$

这时所构造的周期信号 $\tilde{x}(t)$ 的傅里叶级数系数 $a_k$ 就等于，
$a_k = \frac{1}{T} X(jk \omega _0)$

将 $a_k$ 代入到 $\tilde{x}(t)$ 的综合公式中，
$\tilde{x}(t) =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk \omega _0 t) e^{jk \omega _0 t}$

因为 $T = 2 \pi / \omega _0$ ，代入上式得，
$\tilde{x}(t) =\frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk \omega _0 t) e^{jk \omega _0 t} \omega _0$

随着 $T \to \infty$ ， $\tilde{x}(t)$ 趋近于 $x(t)$ ， $\omega _0$ 趋近于0，上式中的求和过渡为一个积分，
$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} {\omega}$

其中，
$X(j \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} \mathrm{d} t$

3. 统一框架：连续时间周期信号的傅里叶变换

对于周期信号，也能够建立傅里叶变换表示，这样就可以在统一的框架内考虑周期和非周期信号。事实上，可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构造出其傅里叶变换，所得到的傅里叶变换在频域内由一串冲激所组成，各冲激的面积（冲激强度）正比于傅里叶级数系数。

考虑一个信号 $x(t)$ ，其傅里叶变换 $X(j \omega)$ 是一个面积为 $2 \pi$ ，出现在 $\omega = \omega _0$ 处的冲激，即
$X(j \omega) = 2 \pi \delta (\omega - \omega _0)$

利用傅里叶逆变换求出 $x(t)$ ，
$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j \omega) e^{j\omega t} \mathrm{d} {\omega} = e^{j \omega _0 t}$

推广开来，如果一个信号的傅里叶变换 $X(j\omega)$ 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即
$X(j \omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi a_k \delta (\omega - k \omega _0)$

那么可得 $x(t)$ 的表达式，
$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega _0 t}$

因此得到结论，一个傅里叶级数系数为 $\{ a_k \}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生在第 $k$ 次谐波频率 $k \omega _0$ 上的冲激函数面积是第 $k$ 个傅里叶级数系数 $a_k$ 的 $2 \pi$ 倍。

《信号与系统》附：傅里叶级数与傅里叶变换对比