最后觉得根源是数学归纳法。
数学归纳法神奇的点在于，可以证明无穷个命题，P(1),P(2),...,P(n),... 这里提到一次无穷，但是却不能证明P(∞),这里是第二个无穷，两个无穷一个叫法但不是一回事，很绕。查了一圈so，发现一个很棒的说法，"因为没有n使得n+1=∞"。
上面的事实有个说法，叫∞是极限序数。这里∞其实应该写作omega，它是序数不是基数，为了表达出思考过程中的混乱混用了一下。序数可以看成序列的下标，极限序数区别于后继序数，比如2是1的后继，但是omega不能通过不断+1达到，所以P(omega)用数学归纳法达不到。
所以数学归纳法得到的集合是N，而期望得到的集合是N并上{∞}，这就是两者的差异。但是有另一个归纳法叫超限归纳法，推广自数学归纳法的一个形式，可以同时做掉后继序数和极限序数，从而证明更强的命题，当然证明步骤也需要更多一点 并且有时候需要AC给所有目标配上良序，有点美中不足。
