概率论（三）：多维随机变量及其分布

二维随机变量

设 $E$ 是一个随机试验，它的样本空间是 $S=\left \{ e \right \}$ ，设 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，它们构成的向量 $(X,Y)$ 称为二维随机向量或二维随机变量

假如 $(X,Y)$ 是二维随机变量，对于任意实数 $x,y$ 二元函数： $F(x,y)=P\left \{X\leq x,Y\leq y \right \}$ 称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，或称为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数

随机点 $(X,Y)$ 落在矩形区域 $\left \{(x,y)|x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2} \right \}$ 的概率为 $P\left \{x_{1}<X\leq x_{2},y_{1}<Y\leq y_{2} \right \}=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})\geqslant 0$

$F(x,y)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的不减函数： $y$ 不变时 $x_{2}>x_{1}\Rightarrow F(x_{2},y)\geqslant F(x_{1},y)$ ，对于 $x$ 不变，同理。
$0\leqslant F(x,y)\leqslant 1$ 且 $F(-\infty,y )=0$ , $F(x,-\infty )=0$ , $F(-\infty ,-\infty )=0$ , $F(\infty ,\infty )=1$
$F(x+0,y)=F(x,y)$ , $F(x,y+0)=F(x,y)$ ，也就是说 $F(x,y)$ 关于 $x,y$ 都右连续

类似地，如果二维随机变量 $(X,Y)$ 所有可能取值是有限对或无限可列对，则称 $(X,Y)$ 是离散型的随机变量，假如 $(X,Y)$ 所有可能取的值为 $(x_{i},y_{i}),i,j=1,2,\dots,$ ，我们称之为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律,此时 $P\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=p_{ij}$ ，又由概率定义知：

$p_{ij}\geqslant 0$
$\sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }p_{ij}=1$

假如对于随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ ，存在非负函数 $f(x,y)$ 使对于任意 $x,y$ 有 $F(x,y)=\int_{-\infty }^{y}\int_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$ ，那么 $(X,Y)$ 是连续型的二维随机变量，函数 $f(x,y)$ 则是其概率密度，或说是随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度，根据有关定义，有：

$f(x,y)\geqslant0$
$\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)dxdy=F(\infty,\infty)=1$
G是一个 $xOy$ 平面上的区域，则点 $(x,y)$ 落在 $G$ 内的概率为: $\iint_{G}^{}f(x,y)dxdy$
若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续，则： $\frac{\partial ^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

边缘分布

对于二维随机变量 $(X,Y)$ 来说， $X,Y$ 都有各自的分布函数，记作 $F_{X}(x),F_{Y}(y)$ ,并将之称为分别关于 $X,Y$ 的边缘分布函数: $F_{X}(x)=P\left \{X\leqslant x,Y < \infty \right \}=F(x,\infty)$ ,对于 $y$ ，同理。
易知对于离散型随机变量： $F_{X}(x)=F(x,\infty)=\sum_{x_{i}\leqslant x}^{}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}$
可求得 $X$ 的分布律： $P\left \{X=x_{i} \right \}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i\cdot},i=1,2,\dots,$ ， $p_{i\cdot}$ 即关于随机变量 $X$ 的边缘分布

对于连续型随机变量 $(X,Y)$ : $F_{X}(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty }^{x}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy \right ]dx$ ,可求概率密度： $f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$ , $f_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$ ，此概率密度称为边缘概率密度

条件分布

设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，对于固定的 $j$ ,若 $P\left \{Y=y_{j} \right \}>0$ ,则说： $P\left \{X=x_{i} | Y=y_{j} \right \}=\frac{P\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}}{P\left \{Y=y_{j} \right \}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\dots,$ 为在 $Y=y_{j}$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律

设 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量，概率密度为 $f(x,y)$ ,关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_{Y}(y)$ ,对于固定的 $y$ , $f_{Y}(y)>0$ ，则称: $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}$ 为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件概率密度，进一步： $\int_{-\infty }^{x}f_{X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty }^{x}\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}dx$ 为条件分布函数

若二维随机变量 $(X,Y)$ 概率密度为 $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{A} & (x,y)\in G\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ ,其中· $G$ 为是平面上的有界区域，其面积为 $A$ ，则称随机变量在 $G$ 上服从均匀分布。

相互独立的随机变量

对于任意 $x,y$ ，假如有以下式子成立： $P\left \{X\leqslant x,Y\leqslant y \right \}=P\left \{ X\leqslant x\right \}P\left \{Y\leqslant y \right \}$ ，即 $F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$ ，则说随机变量 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的，或者连续型随机变量对应等式 $f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$ 成立时，离散型随机变量对应等式： $P\left \{ X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=P\left \{ X=x_{i} \right \}P\left \{Y=y_{j} \right \}$ 成立时。

两个随机变量的函数的分布

$Z=X+Y$ 分布

若 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量且其概率密度为 $f(x,y)$ ，则 $Z=X+Y$ 仍为连续型随机变量，概率密度为:
$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy$
或 $f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$
如果 $X,Y$ 相互独立，那么 $f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$ ,此公式亦称卷积公式

$Z=\frac{Y}{X},Z=XY$ 分布

若 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量且其概率密度为 $f(x,y)$ ，则 $Z=\frac{Y}{X},Z=XY$ 仍为连续型随机变量，概率密度分别为：
$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,xz)dx$
$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx$
如果 $X,Y$ 相互独立,那么
$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_{X}(x)f_{Y}(y)dx$
$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|} f_{X}(x)f_{Y}(\frac{z}{x})dx$

$M=max\left \{X,Y \right \}$ 及 $N=min\left \{X,Y \right \}$ 分布

$X,Y$ 相互独立，则：
$F_{max}(z)=P\left \{M\leqslant z \right \}=P\left \{X\leqslant z ,Y\leqslant z \right \}=F_{X}(z)F_{Y}(z)$
$F_{min}(z)=P\left \{N\leqslant z \right \}=1-P\left \{N>z \right \}=1-P\left \{X>z \right \}\left \{Y>z \right \}=1-\left [1-F_{X}(z) \right ]\left [1-F_{Y}(z) \right ]$

推广到 $n$ 个相互独立的随机变量：
$F_{max}(z)=F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\dots F_{X_n}(z)$
$F_{min}(z)=1-\left [1-F_{X_1}(z) \right ]\left [1-F_{X_2}(z) \right ]\dots \left [1-F_{X_n}(z) \right ]$