对称是自然界中最常见的一种现象，无论是动物还是植物的身体，大都具有对称性。
在我国的建筑中，从故宫博物院到普通民居，就是现代楼房，也大都注重对称。
几何中的轴对称，是指在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线就是对称轴，它是对应点连线的垂直平分线。
这个知识点近年来常见于八年级、中考和高考。2020-2021学年北京理工大学附中八年级（上）期中数学试卷第25题，就考查了这一知识点。
我们先来看一下题：如图，已知等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，∠PAB=α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F。
（1）当α=15°时，
①按要求画出图形，
②求出∠ACD的度数；
③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°<α<75°），当△AEF为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为 。
第一大问的第一问并无什么难度，按题意画好的图形如图二。
从图中可知，点B和点D关于直线AP对称，AP是线段BD的垂直平分线。
所以AD=AB，△ABD为等腰三角形，△ABG≌△ADG，∠PAD=∠PAB=α。
当α=15°时，∠PAD=15°，∠PAB=30°
在△ACD中，AD=CD，∠DAC=∠BAC+∠DAB=60°。
所以△ACD为等边三角形，∠ACD=60°。
再来看第三问，探究DE与BF的倍数关系。
这两条线段在图形中很难看出有直接的联系，更不要说倍数关系了，但可以利用轴对称的概念进行转换。
如图三，连接BE，E是直线AP上，AP垂直平分BD。
所以BE=DE。只要证明BE和BF的倍数关系就可以了。
我们回头看一下第二问的结论：△ACD为等边三角形，∠BAC=∠DAB=30°。
所以AB平分∠CAD。
因为，等边三角形顶角平分线，底边上的高和中线“三线合一”。
所以，AB垂直平分CD，△BEF为RT△。
△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠ADB=75°。
因为，∠ADC=60°，所以，∠BDC=15°。
因为，∠BEF是△BDE的一个外角，△BDE也是等腰三角形，
所以，∠BEF=∠BDE+∠DBE=30°。
RT△BEF中，∠BEF=30°，这个角对应边长度是斜边长度的一半，所以BE=2BF。
所以，DE=2BF。
第二大问是一个填空题，但难度并不比第一大问小。
我们先来分析一下题意，只说了△AEF为等腰三角形时，并没有说哪两条边相等，这就需要分类讨论。可能有三种情况AE=AF、AE=EF、AF=EF。
要证明等腰三角形，可以通过证明两底角相等的方式进行，我们可以利用△AEF和△BCF构成的“8字模型”来帮助证明。
根据题意，我们可以知道，∠ABC=75°，∠BCD=α；所以∠BFC=∠AFE=105°-α。
我们先看第一种情况AE=AF，如图四。
则∠EAF=α，∠AEF=∠AFE=105°-α。
2（105°-α）+α=180°，α=30°。
第二种情况AE=EF，如图五。
则∠AFE=105°-α=∠EAF=α，α=52.5°。
第三种情况AF=EF。
此时α=75°，点D在CA的延长线上，点E点F与点A重合，如图六。
当然了，这也不在0°<α<75°的题意讨论范围之内。
所以第二大问的答案是30°或52.5°。
