两个重要不等式

Author: zfs

  • [1]三角不等式
    ||a|-|b||\leq|a+b|\leq|a|+|b|
  • [2]平均值不等式
    a_1,a_2,a_3……a_n(n个正数)
    \frac{a_1+a_2+a_3…+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2a_3…a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}} 
            算术平均                   几何平均                  调和平均

证[1]:
-2|a||b|\leq 2ab\leq 2|a||b|,同时加上a^2+b^2
(|a|-|b|)^2\leq(a+b)^2\leq(|a|+|b|)^2
开方得证.

证[2]:

  • 左侧：
    • 当n为2^t时
      知\frac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2}
      \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\geq\frac{2\sqrt{a_1a_2}+2\sqrt{a_3a_4}}{4}\geq\frac{2\sqrt{4\sqrt{a_1a_2a_3a_4}}}{4}=\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}
      ……
      第t个等式即为\frac{a_1+a_2+a_3…+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2a_3…a_n}
    • 当n不为 2^t时
      则必存在一个l使得2^l\leq n\lt 2^{l+1}
      记a^*=\sqrt[n]{a_1a_2a_3…a_n}
      则在原列后补充2^{l+1}-n个a^*,即为
      a_1,a_2,a_3…a_n,a^*,a^*…(共2^{l+1}个)
      由上知\frac{a_1+a_2+a_3…+a_n+a^*+a^*+…}{2^{l+1}}\geq\sqrt[2^{l+1}]{a_1a_2a_3…a_na^{*^{2^{l+1}-n}}}
      而a_1a_2a_3…a_n=a^{*^n}
      故\sqrt[2^{l+1}]{a_1a_2a_3…a_na^{*^{2^{l+1}-n}}}=\sqrt[2^{l+1}]{a^{*^n}a^{*^{2^{l+1}-n}}}=a^*
      \frac{a_1+a_2+a_3…+a_n+a^*+a^*+…}{2^{l+1}}\geq a^*
      则a_1+a_2+a_3+…a_n+(2^{l+1}-n)a^*\geq 2^{l+1}a^*
      即\frac{a_1+a_2+a_3…+a_n}{n}\geq a^*=\sqrt[n]{a_1a_2a_3…a_n} 
左侧得证
  • 右侧：
    由左侧不等式\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}…+\frac{1}{a_n}}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}…\frac{1}{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}}
    由于两侧都大于0,故
    \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}…+\frac{1}{a_n}}\leq\sqrt[n]{a_1a_2…a_n} 
右侧得证
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