线性代数核心章节归纳汇总

CSDN入口请见线性代数总结与归纳——线性变换、特征值与二次型，系同作者同一文章

线性代数是工科数学的核心与基础内容之一，掌握好线性代数，不仅有助于日后的各种数学学科的理论学习，更是掌握各种专业知识的必备技能。但可惜的是，很多人由于受到教材排版的缺陷、授课水平的约束，并没有很好地理解线性代数的核心，而仅草草通过了考试（包括笔者在内亦是如此）。

学习数学，亦是欣赏人类的智慧结晶，不能透彻学习，乃是大学学习生涯的一大憾事。

所以希望能够通过本系列文章的汇总，来尝试构建属于自己的知识体系，并且能够给予自己和读者一些启发。并且，本篇文章也是用来学习LaTeX与Markdown的测试文章。

由于本人水平有限，难免会有疏漏，请读者酌情阅读。

阅读须知：

标有 $Defination$ 的栏目为定义，定义描述了线性代数的核心研究对象
标有 Law X 的栏目代表定理，定理的证明内容较为复杂，不会在本文涉及。定理是描述线性代数学科的核心，通过对定理的反复学习背诵，可以从根本上掌握线性代数。而一切命题与推论都可以从这若干条定理得出。
本文不适合线性代数初学者
参考资料：天津大学数学学院代数教研组线性代数讲义

1. 线性变换

线性变换，线性空间等概念是线性代数的核心

$Defination:$ 线性空间 $V$ 上满足从自身到自身的映射 $\sigma(\pmb{\alpha})$ ，并且满足 $\sigma(\pmb{\alpha + \beta})$ = $\sigma(\pmb{\alpha})$ + $\sigma(\pmb{\beta})$ 以及 $\sigma(k\pmb{\alpha}) = k\sigma(\pmb{\alpha})$ ，则称 $\sigma$ 为 $V$ 上的线性变换。

线性变换满足性质： $\sigma(\pmb{0}) = \pmb{0}, \sigma(-\pmb{\alpha}) = -\pmb{\alpha}$
部分特殊线性变换：如投影变换，零变换，恒等变换，数乘变换，旋转变换-

2. Law 1: 线性变换与生成基一一确定

$V$ 上的某一个基 $\alpha_{1},\alpha_{2}, ...,\alpha_{n}$ 在某线性变换 $\sigma$ 作用下得到的另一个基 $\beta_{1},\beta_{2}, ...,\beta_{n}$ ，若 $\sigma$ 确定，则新生成的基也确定；若基 $\beta_{1},\beta_{2}, ...,\beta_{n}$ 确定，则 $\sigma$ 确定，即，线性变换与生成的基互相唯一确定

思考：为什么要对基做线性变换？因为任何一个元素可以被基唯一表达，而且由于线性变换的线性特性，若一个元素被线性变换，那么这个元素在新基下的参数是不变的。所以我们可以通过研究线性变换对基的变换，来窥探其对所有元素的变换效果。

3. 线性变换的矩阵

由于固定的线性变换对一个基的作用效果是恒定的，考察由基 $\alpha_{1-n}$ 到 $\beta_{1-n}$ 的变换，我们可以通过矩阵语言来表示这种基的变换

$Defination:$ 考虑基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ 在线性变换 $\sigma$ 的作用下的新基 $\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}$ ，必然存在一个矩阵，使得
$[ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} ] = [ \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$
则线性变换的矩阵定义为
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$

由 Law 1 已知，对于固定的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ ， $A$ 与线性变换 $\sigma$ 互相唯一确定

4. Law 2: 线性变换的矩阵计算坐标变化

由于我们已经用线性变换的矩阵来描述给定基下的线性变换，如果该矩阵已知，又因为任何一个元素可以由该基唯一确定，所以给定任意一个元素，我们都可以通过该矩阵计算出其线性变换后的结果

已知基 $\alpha_{1-n}$ ，线性变换 $\sigma$ 在该基下的矩阵为 $A$ ，对于元素 $x$ ，若x的坐标为 $X$ ，而且线性变换后的坐标为 $Y$ ，那么必有 $Y=AX$

5. Law3: 不同基下线性变换的关系

该定理主要考察不同基下相同线性变换的矩阵之间的关系

设线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}$ 下的矩阵为 $B$ ，若从基 $\alpha_{1-n}$ 到 $\beta_{1-n}$ 的过渡矩阵 $S$ 满足
$[ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} ] = [ \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ] S$ 则 $A$ 与 $B$ 之间必有 $B = S^{-1}AS$

过渡矩阵 $S$ 必然可逆，想一想，为什么？
对于矩阵 $A$ 和 $B$ 的这种关系，我们定义为矩阵的相似，如下

6. 相似矩阵

$Defination:$ 对于矩阵 $A$ 与 $B$ ，若存在可逆矩阵 $S$ ，使得 $B = S^{-1}AS$ 则称 $A$ 与 $B$ 为 相似矩阵，记作 $A \sim B$

相似具有等价关系，即满足反身性、对称性、传递性
相似矩阵具有几个性质：相似矩阵的矩阵多项式仍然相似，并且相似矩阵相同的秩、迹、行列式、特征值与特征向量、可逆性相同。这些特性本质上是相同线性变换所体现出的固有性质。
相似矩阵必然相抵，但其逆命题不成立

7. 特征值与特征向量

提出特征向量与特征值的原因，源于研究线性变换中某些特殊的性质。当我们对一个元素进行线性变换时，若这个元素（向量）的方向不变，而只进行了伸缩时，我们就说这个元素时特征向量，而伸缩的大小便是特征值。

$Defination:$ 设线性变换 $\sigma(\pmb{x})$ 在某基下的矩阵为 $A$ ，若元素 $x$ 在该线性变换中满足 $\sigma(x) = Ax= \lambda x$ ，则称该元素 $x$ 为矩阵 $A$ （或线性变换 $\sigma$ ）的特征向量， $\lambda$ 为特征值

对于 $Ax = \lambda x$ ，移项得 $(\lambda E - A)X = 0$ ，若 $\lambda$ 存在，则该齐次方程必有非零解，而且 $\lambda$ 必然满足特征多项式 $|\lambda E - A| = 0$ ，因此 $|\lambda E - A| = 0$ 的解集即为 $A$ 的所有特征值的集合
对于已知特征值 $\lambda$ ，带入原方程 $(\lambda E - A)X = 0$ 便可得到关于 $X$ 的解空间 $W_{\lambda} = \{ X | AX = \lambda X, X \in P^n\}$ ，并称之为 $\lambda$ 的特征子空间。（易证其必为子空间）

8. 代数重数与几何重数

这两个定义是为了给接下来的两个定理做铺垫

$Defination:$ 特征值的代数重数是指 $|\lambda E - A| = 0$ 的解 $\lambda$ 的数量，即有“几重”根
$Defination:$ 特征值的几何重数是指该特征值解空间的维度 $dimW_{\lambda}$

9. Law 4：几何重数与代数重数的关系

$N$ 阶方阵的特征值 $\lambda_0$ 的几何重数 $r \leq$ 代数重数 $k$

推论：单根 $\lambda$ 的特征子空间必为 $n$ 维空间中的一条过原点的直线
对于 $k$ 重根 $\lambda$ ，其特征子空间维数必然小于等于 $k$

10. Law5: 不同特征值下的特征向量必然线性无关

11.方阵的相似对角化

$Def:$ 若方阵 $A$ 与某对角矩阵 $\Lambda$ 相似，则称方阵 $A$ 可对角化，而 $\Lambda$ 为矩阵 $A$ 对角化后的对角矩阵，这一过程称之为相似对角化。即，存在可逆矩阵 $S$ ，使得 $A = S^{-1}\Lambda S$

为什么要进行相似对角化呢？因为相似对角化后的矩阵具有很多优良性质，并且在解决一些具体问题上（如二次型，即带交叉项的多元齐次式）具有重要作用。一会将会着重介绍

相似对角化的矩阵，可以轻易地计算其行列式、秩、迹、特征值等性质。例如，计算行列式可以将 $\Lambda$ 的对角元素相乘而得到，迹同理相加即可，而秩则只需要看 $\Lambda$ 对角线元素的个数即可。
事实上，对角矩阵 $\Lambda = {\rm diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$ 上的每一个元素都是 $A$ 的特征值。原因易证，因为如果我们用常规方法求 $\Lambda$ 的特征值，便会得到特征方程 $(a_1 - \lambda_1)(a_2 - \lambda_2)\cdots(a_n - \lambda_n) = 0$ 易见 $\lambda_{1-n}$ 便是 $\Lambda$ ，同时也是 $A$ 的特征根。
并且，可逆矩阵 $S = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]$ 中的每一个列向量代表了 $\Lambda$ 中的对应的特征值的特征向量，其列向量必然线性无关。理解：S代表了由“基础基”向“由线性无关的特征向量所构成的基”的过渡矩阵，因此，S便是特征向量所构成的矩阵。这也是从几何上理解相似对角化的本质。从几何上，若向量的每一个分量都能够满足伸缩而不改变方向的性质，那么问题便能得到简化。