前言

最近开始要做一些生物热仿真的相关工作，因此就针对相关的基础知识进行一些回顾。

以前有接触过一些工程传热学相关的东西，本来准备直接当成工程介质处理来着。后来仔细调研了一下发现，生物传热学有自己的Pennes等导热模型，因为所有活体组织内都有毛细血管、活动空洞等结构，不能一概而论地当成理想均匀介质。

所以单独开了这个专题，用来记录和分享一些生物传热学相关的内容，整体内容十分基础，可能更多的用于小白入门以及我个人的备忘录吧。

傅里叶传热定律

由于仿真过程主要的热交换方式为热传导，所以不可避免的需要重温导热公式——傅里叶传热定律（公式(1)）

$\boldsymbol{q}=-k \nabla T \tag{1.1}$

含义：热通量（热流密度）= 导热率 $\times$ 温度场负梯度

$\boldsymbol{q}=Q/A \tag{1.2}$

含义：热通量（热流密度）= 热量 $\div$ 导热面积

$\nabla T=\vec{e}_{x} \frac{\partial T}{\partial x}+\vec{e}_{y} \frac{\partial T}{\partial y}+\vec{e}_{z} \frac{\partial T}{\partial z} \tag{1.3}$

含义：温度场梯度 = 温度在x,y,z坐标上的偏导 $\times$ 对应单位向量的和

$\alpha = k/\rho c \tag{1.4}$

含义：热扩散系数 = 导热率 $\div$ (密度 $\times$ 比热容)

热扩散系数是比导热率更直观的参数。导热率高的材料不一定一端升温，一端迅速升温，但热扩散系数高的材料一定会。

$c = \frac{\partial Q}{\rho V \partial T} \tag{1.5}$

含义：比热容 = 吸收的热量/(密度 $\times$ 体积 $\times$ 单位温度)

非稳态热传导^[1]

热仿真过程中必然涉及到非稳态热传导(温度随时间不停变化时的热传导)，此时的温度场 $T$ 从 $T(x,y,z)$ 变为了 $T(x,y,z,t)$ ，增加了一维时间。

一维非稳态

对温度场 $T(x,t)$ ，导热公式如下：
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} \tag{2.1}$

在实际求解过程中，如果采用有限差分法(FDM)思路，在时间维度取向前差分，空间方向上的二阶偏导数取中间差分，以此来保持差分格式的稳定性：
$\frac{T(x_i,t_{j+1})-T(x_i,t_{j})}{\Delta t} = \alpha \frac{T(x_{i+1},t_j)+T(x_{i-1},t_j)-2T(x_{i},t_j)}{(\Delta x)^2} \tag{2.2}$
移项可得：
$T(x_i,t_{j+1}) = \alpha \Delta t \frac{T(x_{i+1},t_j)+T(x_{i-1},t_j)-2T(x_{i},t_j)}{(\Delta x)^2} + T(x_i,t_{j}) \tag{2.3}$