引言
在研究非欧几何之前，射影几何是几何的主要研究课题，施陶特(von Staudt,1798-1867)认为射影几何在逻辑上先于欧几里得几何，因为射影几何处理的是构成几何图形最根本的定性和描述方面的性质，而并没有用到线段和角的度量，暗示欧几里得几何可能是射影几何的特例，对非欧几何，至少常曲率空间的非欧几何可能是射影几何的特例。于是人们开始研究射影几何和非欧几何的关系，后者以距离作为基本概念，属于度量几何。另一个重要的成果是证明基本非欧几何的相容性。
作为非欧几何模型的曲面
继黎曼几何后，最重要的几何大概算是常曲率空间的几何，黎曼在1854年论文中指出，只要把球面测地线看作直线，就能在球面实现一个二维的正的常曲率空间，这种非欧几何现在称为二重椭圆几何。
在黎曼工作以前，高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几何，后来克莱恩称为双曲几何，是在平面上的几何，引进普通直线（无穷直线）作为测地线，双曲几何和黎曼几何的关系是不清楚的，黎曼和Minding曾考虑负的常曲率曲面，但他们都未指出与双曲几何的关系。
伪球面
贝尔特拉米证明一块罗巴切夫斯基平面可以在负常曲率曲面上实现，然而没有负常曲率的正则解析曲面使全部罗巴切夫斯基几何在其上成立，所有这种曲面有一条奇异曲线，切平面经过它时不连续，所以经过此曲线的曲面的延拓不能使代表罗巴切夫斯基几何的图形连续，这是希尔伯特得出的结果。
还要指出的是，Heinrich Liebmann(1874-1939)证明了球面是唯一正的常曲率封闭解析曲面（无奇异点），因此是唯一能用来作为二重椭圆几何的欧几里得模型。
这些模型的发展帮助数学家了解并看出基本非欧几何的意义，必须指出这些二维非欧几何基本上就是平面几何，其中的直线与角是欧氏几何常用的直线与角，双曲几何虽然以这种方式论述，但数学家仍然感到结论奇异，只是勉强承认它们属于数学，黎曼以微分几何观点提出的二重椭圆几何，甚至还没有像平面几何的公理推导，数学家只能从球面上几何提供的线索来看出一点意义。通过寻找欧氏几何与射影几何的关系，人们才对这些非欧几何的性质获得了较好的理解。
