高等代数理论基础44：线性空间的同构

线性空间的同构

向量与它的坐标之间的对应是 $V$ 到 $P^n$ 的一个映射,且是单射与满射,即双射

同构

定义

定义：数域P上两个线性空间 $V,V’$ ,若存在双射 $\sigma:V\to V’$ 满足：

$\forall \alpha,\beta\in V,\forall k\in P$

1. $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$

2. $\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$

则称 $V,V’$ 同构, $\sigma$ 称为同构映射

注：n维线性空间V中取定一组基后,向量与它的坐标之间的对应是 $V$ 到 $P^n$ 的一个同构映射,故数域P上任一n维线性空间都与 $P^n$ 同构

性质

1. $\sigma(0)=0,\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha)$

2. $\sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r)=k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_r\sigma(\alpha_r)$

3.V中向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_r)$ 线性相关

4.若 $V_1$ 是V的一个线性子空间,则 $V_1$ 在 $\sigma$ 下的像集合 $\sigma(V_1)=\{\sigma(\alpha)|\alpha\in V_1\}$ 是 $\sigma(V)$ 的子空间,且 $V_1,\sigma(V_1)$ 维数相同

5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射

证明：

3.V中向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_r)$ 线性相关

$必要性$

$\because k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$

$\therefore k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_r\sigma(\alpha_r)=0$

$充分性$

$\because k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_r\sigma(\alpha_r)=0$

$\because \sigma是1-1的,只有\sigma(0)=0$

$\therefore k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射

$设\sigma是线性空间V到V’的同构映射$

$显然,逆映射\sigma^{-1}是V’到V的一个双射$

$下证\sigma^{-1}满足条件$

$\forall\alpha’,\beta’\in V’$

$\sigma\sigma^{-1}(\alpha’+\beta’)=\alpha’+\beta’$

$=\sigma\sigma^{-1}(\alpha’)+\sigma\sigma^{-1}(\beta’)$

$=\sigma(\sigma^{-1}(\alpha’)+\sigma^{-1}(\beta’))$

$两边用\sigma^{-1}作用,可得$

$\sigma^{-1}(\alpha’+\beta’)=\sigma^{-1}(\alpha’)+\sigma^{-1}(\beta’)$

$同理可证\sigma^{-1}(k\alpha’)=k\sigma^{-1}(\alpha)$

$\therefore \sigma^{-1}是同构映射$

$设\sigma,\tau分别是线性空间V到V’和V’到V''的同构映射$

$下证\tau\sigma是V到V''的同构映射$

$显然,\tau\sigma是单射与满射$

$\because \tau\sigma(\alpha+\beta)=\tau(\sigma(\alpha)+\sigma(\beta))$

$=\tau\sigma(\alpha)+\tau\sigma(\beta)$

$\tau\sigma(k\alpha)=\tau(k\sigma(\alpha))=k\tau\sigma(\alpha)$

$显然,\tau\sigma是同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.任一线性空间V到自身的恒等映射是一同构映射

2.同构作为线性空间之间的一种关系,具有自反性、对称性与传递性

3.数域P上任一n维线性空间都与 $P^n$ 同构,由同构的对称性与传递性,数域P上任两个n维线性空间都同构

定理：数域P上两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 它们维数相同

注：

1.同构的线性空间不做区别,维数是有限维线性空间的唯一本质特征

2.同构的空间由相同的性质

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