2017-06-20 努力原创的 pupu家的快乐数学
在一个房间内，有若干个一模一样的盒子排成一排放在桌子上，小方把七十多个相同的弹珠分别放进盒子里，其中只有一个盒子里没有任何弹珠放入，之后小方按照盒子里弹珠数量的多少将盒子进行排序摆放，做完这些，他就暂时离开了房间。
小方的好朋友小圆来到房间后，从每个装有弹珠的盒子里各拿起一个弹珠放入那个空盒内，之后按照盒子里弹珠的数量又把盒子重新排了一下。小方回来后仔细查看了一番，没有察觉有人动过这些弹珠和盒子，请问桌子上一共有多少个盒子，多少个弹珠？
这道题目中有几个已知条件：
（1）70＜弹珠的总数量＜80；
（2）只有一个盒子是空的，盒子里弹珠为0个；
（3）从装有弹珠的盒子里各拿出1个弹珠放入空盒里，那么盒子的总数量和弹珠的分布情况都保持不变。
从第三个已知条件切入，我们先随意做个假设，假设装有弹珠的盒子有4个，那么从每个盒子里拿出1个弹珠放入另一个空盒子里，这时原来的空盒里放入了4个弹珠，因此原本装有弹珠的盒子中肯定有一个盒子是装着4个弹珠的。
另一方面，原来的4个盒子被各拿出1个弹珠后，必须得有其中一个盒子变成空盒子，所以，原本的盒子中肯定有一个盒子只装着1个弹珠。
再进一步分析，要使4个盒子在各取出1个弹珠放入空盒后，弹珠的分布情况保持不变，那么每个盒子内弹珠的数量前后都只能相差1个，由此可得知，另外两个盒子里装着弹珠的数量分别是2个和3个。
前面我们假设有4个盒子装有弹珠，那么这4个盒子分别装有1个、2个、3个、4个弹珠。如果有5个盒子装着弹珠，那么这5个盒子应该分别装有1,2,3,4,5个弹珠。同理，如果有n个盒子装着弹珠，那么这n个盒子应该分别装有1,2,3,4,…,n个弹珠，才能保证，在小圆对盒子进行操作后，盒子的数量和弹珠的分布情况保持不变。
现在我们再来看看第一个已知条件，“70＜弹珠的总数量＜80”，我们对盒子里的弹珠进行加总：
情况一
如果有11个装有弹珠的盒子，且弹珠的数量分别是1,2,3,…,11，那么弹珠的总数是：
1+2+3+…+11=66＜70
故不符合已知条件。
情况二
如果有12个装有弹珠的盒子，且弹珠的数量分别是1,2,3,…,12，那么弹珠的总数是：
70＜1+2+3+…+12=78＜80
符合条件“70＜弹珠的总数量＜80”。
情况三
如果有13个装有弹珠的盒子，且弹珠的数量分别是1,2,3,…,13，那么弹珠的总数是：
1+2+3+…+13=91＞80
故不符合已知条件。
综上所述，我们可知，桌子上装有弹珠的盒子一共必须是12只，另外别忘了还有1个空盒子没装弹珠。因此，桌子上盒子的总数必须是13个，而且弹珠的总数一定是78个。
这道题目还可以反过来设计，给出盒子以及弹珠的数量，并对弹珠的分布情况进行提问。变形后的题目如下：
桌子上一共有13个相同的盒子，以及78个相同的弹珠，小方把这些弹珠分别放入其中的12个盒子里。放置完毕后，他将这13个盒子按盒子里弹珠的多少进行前后排列。之后，小方又从装有弹珠的12个盒子里各取出1个弹珠，一起放入另一个空盒里。做完这些后，他再次将这13个盒子按盒子里弹珠的多少进行前后排列，最终发现这13个盒子跟之前并没有任何不同。请问，小方一开始是怎么摆放这些弹珠的（或者弹珠一开始是怎么分布在12个盒子里的）？
解题的步骤跟之前类似，分析出12个盒子中前后两个盒子之间只能相差1个弹珠，就能顺利得出答案。
头脑风暴
学校里正在进行运动会的开幕仪式，一共有130多个学生组成若干个大小不一的方正等待入场，这些方正按照学生人数的多少先后排列着。这时候，教导主任通过广播告知大家：从现有的每一个方正里选出一名学生，组成一个新的方正，排列在所有方正的最后方。做完这些后，发现目前方正的数量跟学生的分布情况跟原先保持不变。请问，原先一共有多少学生，有多少方正？
在公号里回复“弹珠”，可查看当期习题的答案。此外，在下期的文章里，我也会给出习题的解答，敬请关注！
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作者：努力原创的pu爸
